MATH

オイラー　”\(e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta\)”

¶指数関数

☆指数の計算

ここの部分は覚えておくところです．\(a>0,b>0\)で\(m,n,p\)は有理数とすると

\(a^{m}a^{n}=a^{m+n},(a^{m})^{n}=a^{mn},(ab)^{m}=a^{m}b^{m},\left(\displaystyle \frac{a}{b} \right)^{m}=\displaystyle \frac{a^{m}}{b^{m}}\)

\(a^{0}=1,a^{-n}=\displaystyle \frac{1}{a^{n}},\displaystyle \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n} ,a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}\)

\(\displaystyle \sqrt[m]{a}\sqrt[m]{b}=\sqrt[m]{ab}=(ab)^{\frac{1}{m}},\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}}=\sqrt[m]{\frac{a}{b}}=\left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{1}{m}}\)

\((\sqrt[m]{a})^{n}=\sqrt[m]{a^{n}}=\sqrt[mp]{a^{np}}=a^{\frac{n}{m}} ,\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}=a^{\frac{1}{mn}}\)

が成り立つ．

☆指数関数

\(y=3^{x},y=\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{x},y=5^{-x}\)などが指数関数の例である．

指数関数のグラフでは

\(y=3^{x}\)のグラフが\((0,1)(1,3)\)を通り，\(x\)軸を漸近線とする右上がりの曲線である．

右上がりの曲線なので\(p<q⇔3^{p}<3^{q}\)

\(y=5^{-x}=\left(\displaystyle \frac{1}{5}\right)^{x}\)のグラフが(\(0,1),\left(1,\displaystyle \frac{1}{5}\right)\)を通り，\(x\)軸を漸近線とする右下がりの曲線である．

また右下がりの曲線なので\(p<q⇔\left(\displaystyle \frac{1}{5}\right)^{p}>\left(\displaystyle \frac{1}{5}\right)^{q}\)

このようにグラフからいろいろな情報が読み取れる．

☆指数関数の大小

例\(\sqrt[3]{5}<\sqrt[5]{125}\) ⇔ \(5^{\frac{1}{3}}<5^{\frac{3}{5}}\) ⇔ \(\displaystyle \frac{1}{3}<\frac{3}{5}\)\((y=5^{x}\)は右上がりの曲線)

\(\displaystyle \sqrt[3]{\frac{1}{2}}>\displaystyle \sqrt[5]{\frac{1}{32}}\) ⇔ \(\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}>\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{\frac{3}{5}}\) ⇔ \(\displaystyle \frac{1}{3}<\frac{3}{5}\) (\(\displaystyle y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}\)は右下がりの曲線)(注意)

☆指数関数の方程式・不等式

例１，\(2^{x}=16=2^{4}⇔x=4\)

２，\(2^{x}<16=2^{4}⇔x<4\)

３，\(\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{x}<16=\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{-4}⇔x>-4\)(注意)

４，\(3^{2x}+3^{x+1}=4⇔(3^{x})^{2}+3\cdot 3^{x}-4=0\)

ここで\(3^{x}=t\)とおくと

\(t^{2}+3t-4=0⇔(t-1)(t+4)=0⇔t=1,-4\)

\(3^{x}=1⇔x=0,~~3^{x}=-4\)はグラフから\(3^{x}>0\)がわかるので解なし．

¶対数関数

☆対数の計算

\(a>0, a≠1, Z>0, W>0, n>0\)で\(k\)が実数の時，

\(a^{k}=Z⇔k=\log_{a}Z\) (\(\log_{a}a^{k}=k\)) ←\(a\)は底，\(Z\)は真数という．

\(\displaystyle \log_{a}a=1,\log_{a}1=0,\log_{a}\frac{1}{a}=-1\)

\(\displaystyle \log_{a}ZW=\log_{a}Z+\log_{a}W,\log_{a}\frac{Z}{W}=\log_{a}Z-\log_{a}W,\log_{a}Z^{k}=k\log_{a}Z\),\(\displaystyle \log_{a}\frac{1}{Z}=-\log_{a}Z,\log_{a}\sqrt[n]{Z}=\frac{1}{n}\log_{a}Z\)

底の変換公式

\(a,b,c>0, a,b,c \neq 1\)とする．

\(\displaystyle \log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}\) \(\left(\displaystyle \log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}\right)\)

☆対数関数

\(y=\log_{3}x,y=\log_{\frac{1}{2}}x,y=-\log_{5}x\)などが対数関数の例である．

対数関数のグラフでは

\(y=\log_{3}x\)のグラフが\((1,0),(3,1)\)を通り，\(y\)軸を漸近線とする右上がりの曲線である．

右上がりの曲線なので\(0<p<q\) ⇔ \(\log_{3}p<\log_{3}q\)

\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)のグラフが(\(1,0),\left(\displaystyle \frac{1}{2},1\right)\)を通り，\(y\)軸を漸近線とする右下がりの曲線である．

また右下がりの曲線なので\(0<p<q\) ⇔ \(\log_{\frac{1}{2}}p>\log_{\frac{1}{2}}q\)

このようにグラフからいろいろな情報が読み取れる．

☆対数関数の大小

例 \(\log_{3}5<\log_{9}125\) ⇔ \(\displaystyle \log_{3}5<\frac{\log_{3}125}{\log_{3}9}\) ⇔ \(\displaystyle \log_{3}5<\frac{3\log_{3}5}{2}\) (\(y=\log_{3}x\)は右上がりの曲線)

\(\log_{\frac{1}{2}}5<\log_{\frac{1}{4}}24\) ⇔ \(\displaystyle \log_{\frac{1}{2}}5<\frac{\log_{\frac{1}{2}}24}{\log_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}}\) ⇔ \(\log_{\frac{1}{2}}5<\log_{\frac{1}{2}}\sqrt{24}\) ⇔ \(5>\sqrt{24}\) (\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)は右下がりの曲線)(注意)

これは\(\log_{\frac{1}{2}}5<\log_{\frac{1}{4}}24\) ⇔ \(\displaystyle \frac{\log_{2}5}{\log_{2}\frac{1}{2}}<\frac{\log_{2}24}{\log_{2}\frac{1}{4}}\) ⇔ \(-\log_{2}5<-\log_{2}\sqrt{24}\) ⇔ \(\log_{2}5>\log_{2}\sqrt{24}\) ⇔ \(5>\sqrt{24}\)でもよい．

☆対数関数の方程式・不等式

例１，\(\log_{2}x=4 ⇔ x=4^{2}=16\)

２，\(\log_{2}x<4 ⇔ x<4^{2}=16\) (注意) ただし，真数\(x\)は正の数なので答えは　\(0<x<16\)←\(x\)は0以上である!

３，\(\log_{\frac{1}{2}}x<4 ⇔ x>4^{\frac{1}{2}}=2\) (注意)

４，\(\log_{3}x+\log_{3}(x-2)=1\)　真数は0以上なので\(x>0\) かつ \(x−2>0\)で\(x>2\)

また式を変形していく．\(\log_{3}x(x-2)=\log_{3}3^{1}\) ⇔ \(x(x-2)=3\) ⇔ \(x^{2}-2x-3=0\) ⇔\(x=3,−1\)

範囲から\(x=3\)

☆常用対数…10を底とする対数

これは桁数などに応用として使える．

例　１，\(10^{3}\leqq N<10^{4}\)から\(N\)は4桁の数字である．これを常用対数で表すと\(3\leqq\log_{10}N<4\)となり，4桁となる．

　　２，\(2^{30}\)の桁数について，\(\log_{10}2=0.3010\)とすると\(\log_{10}2^{30}=9.03\)

　　 よって\(9<\log_{10}2^{30}<10\) (⇔\(10^{9}<2^{30}<10^{10}\))なので10桁となる．