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問題：\([x]\)を\(x\)の整数部分とする．\(\displaystyle \left[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right]=3\)を満たす\(n\)を求めよ．\(n\)をあなたの得点とする．
2020 0930
問題：\(x\geqq 2\)を満たす実数\(x\)の全体の\(A\)を定義域として，3つの関数\(\pi(x)\)\(=(x \text{以下の素数の個数})\)，\(Li(x)\)\(=\int_{2}^{x}\frac{dt}{\log t}\)，\(f(x)=\frac{x}{(\log x)^3}\{(\log x)^2+\log x +2\}\)を考え，\(x>10^{10}\)に対する\(f(x)<\pi(x)<f(x)+\frac{x}{(\log x)^3}\)の成立を既知として用いることで，不等式\(-\frac{6}{(\log 2)^4}e^{79}\)\(<\pi(e^{79})-Li(e^{79})\)\(<\frac{1}{79^3}e^{79}\)を証明せよ．
2020 0911
問題：\(a_{n}=\frac{1}{n^{80}}\sum_{k=1}^{n}k^{79}\)を満たす数列\({a_n}\)を考える．極限\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}\)は収束することから，極限値\(\alpha\)とおける．このとき極限\(K=\lim_{n\rightarrow \infty}n(\alpha-a_{n})\)を求め，\(-[200K]\)を与えよ．
2020 0904
問題：6以上の偶数\(n\)に対して，\(n\)未満の正の奇数を無作為に1つ選んで\(p\)とする時，\(p\)と\(q=n-p\)がともに素数となる確率を\(P(n)\)とする．（例えば，\(n=10\)のとき，\(p=1,3,5,7,9\)の5通りに対して，それぞれ\(q=9,7,5,3,1\)となるが，このうち\(p\)と\(q\)がともに素数になる組は，\((p,q)=(3,7),(5,5),(7,3)\)の3通りなので，\(P(10)=\frac{3}{5}\)である．）80以下の偶数\(n\)の中で，\(P(n)\)が最小となる\(n\)とそのときの確率\(P(n)\)を求めよ．
2020 0903
問題：自然数\(n\)に対して，\(x\)の多項式\(T_n(x)\)で\(\cos(n\theta)=T_n(\cos\theta)\)が実数\(\theta\)によらず成立するものを考えることで，\(K=\prod_{k=1}^{40}\cos\left(\frac{2k-1}{79}\pi\right)\)を求め，\([|\log_2{|K|}|]\)を与えよ．ここで，数列\({a_n}\)と\(m \leqq n\)なる整数\(m,n\)に対し\(\prod_{k=m}^{n}a_k=a_m\times a_{m+a}\times\cdots\times a_{n-1}\times a_n\)と表し，実数\(x\)以下の最大の整数を\([x]\)と表す．
2020 0902
問題：\(△ABC\)は\(\angle B=\frac{\pi}{4}\)，\(\angle C=\frac{\pi}{8}\)，\(BC=\sqrt{6}\)である．\(△ABC\)の垂心を\(H\)，外心を\(O\)，重心を\(G\)とし，外心に関して垂心と対称な点を\(L\)，線分\(GL\)を\(m:n\)に外分する点を\(D\)とする．（ただし，\(m,n\)は\(0<n<m\)をみたす実数とする．） 四角形\(ABDC\)の面積\(S\)を\(m,n\)を用いた式で表せ．
2020 0901
問題：\(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{r}{79}\) （\(p \leqq q\)，\(r<79\)）をみたす正整数\(p,q,r\)の組を全て求め，\(p\)の小さい順に並べたとき，前から3番目の\(r\)と後ろから5番目の\(q\)を掛けた数\((q\times r)\)を答えよ．
2020 0831
