MATH

問題：\(m,n\)を自然数とする．\(x \geqq 0\),\(y \geqq 0\)の場合で，曲線\(x^\frac{1}{m}+y^\frac{1}{n}=1\)と\(x\)軸，\(y\)軸とで囲まれる領域の面積を\(S(m,n)\)とする．(1)\(S(m,n+1)=\frac{n+1}{m+1}S(m+1,n)\)となることを示せ．(2)\(S(m,n)\)を\(m,n\)を用いて表せ．(3)\(\lim_{n\rightarrow \infty}(S(n,n))^\frac{1}{n}\)の値を求めよ．

130問目

(1)\(m,n\)を自然数とする．\(8^3+m^3=9^3-n^3\)を満たす時，\(m,n\)を求めよ．(2)\(m,n\)を自然数とする．\(12^3-m^3=n^3-1^3\)を満たす時，\(m,n\)を求めよ．

129問目

問題：三角形\(ABC\)に対して，\(AB=c\)，\(BC=a\)，\(CA=b\)，内接円の半径を\(r\)，外接円の半径を\(R\)とする．\(a=2R\)を満たす時，\(\displaystyle k=\frac{R}{r}\)の範囲を求めよ．

128問目

問題：\(y=x^2\)と\(y=-2x^2+3x\)で囲まれる領域を\(y=x\)の周りに1回転してできる立体の体積\(V\)を求めよ．

127問目

問題：\(P(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)において，\(a\neq 0\)，\(P(a)=0\)，\(P(b)=0\)，\(P(c)=0\)となる時，(A)\(d=0\)の時，\(a,b,c\)を求めよ．(B)\(a,b,c,d\)が実数で，\(a>0\)の時，\(a\)の取りうる範囲を求めよ．

126問目

三角形の辺の長さが\(p\),\(p+2\),\(q\)で，いずれかの角度が\(60^{\circ}\)となる．\(p,q\)が素数の時，\(p,q\)を求めよ．

125問目

数列，微分，図形問題

問題：\(△ABC\)において，\(BC,CA,AB\)の長さを\(a,b,c\)とする．いずれかの辺の中点を\(D\)とすると，その辺と対角にある三角形の頂点と\(D\)をつないだ線の長さを\(d\)とする時，\(a,b,c,d\)が等比数列になる．\(a=1\)とする．考えられる\(△ABC\)の中で最小の面積を求めよ．

124問目

問題：\(\lim_{N\rightarrow \infty}\int_{0}^{N} \frac{1}{1+x^2}dx=\frac{\pi}{2}\)を用いて，次の積分値を求めよ．(A)\(I=\lim_{n\rightarrow \frac{\pi}{4}-0}\int_{0}^{n} \frac{1}{\sin^4 x+\cos^4 x}dx\)(B)\(I=\lim_{n\rightarrow \frac{\pi}{4}-0}\int_{0}^{n} \frac{1}{\sin^6 x+\cos^6 x}dx\)

123問目

問題：実数\(x\)，整数\(n\)に対し，\(n\leqq x<n+1\)を満たす場合に\([x]=n\)と表す．正の整数\(k\)に対して，\(a_{k}\)\(=[\sqrt{k}]\)とする時，\(\sum_{k=1}^{2020}a_{k}\)を求めよ．

122問目

問題：(1)\(n\)を自然数とする．\(x^{2n}+x^n+1\)を係数が実数の範囲で因数分解しなさい．(2)\(x^{10}+x^{5}+1\)を係数が整数の範囲で因数分解しなさい．

121問目

問題：\(n\)を正の整数とするとき，(i)\(a_{n}\)\(=\int_{0}^{n\pi}e^{-x}\sin x dx\)を求めよ．(ii)\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)を求めよ．

120問目

問題：数列\(a_{n}\)は\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=2\)，\(a_{3}=3\)，\(a_{n}a_{n+3}-a_{n+1}a_{n+2}\)\(=-2(a_{n+1}^2-a_{n}a_{n+2})\)を満たす時，この数列の一般項\(a_{n}\)を求めよ．

119問目

問題：\(a,b\)を実数とする．\(n\)を自然数とする場合に，\(a^2+b^2=3\)，\(a^4+b^4=7\)，\(a^{n}+b^{n}\)\(<a^{n+1}+b^{n+1}\)が成立する時，\(a^{n}+b^{n}\)\(+a^{n+1}+b^{n+1}\)\(=a^{n+2}+b^{n+2}\)が成立することを示せ．

118問目

問題：サイコロを\(n\)回投げる．全ての目の出る確率が同様に確からしい場合，次の問いに答えよ．(1)出た目の和が7の倍数となる確率を求めよ． (2)出た目の和が\(n\)回目で初めて6の倍数となる確率を求めよ．(3)出た目の和が5の倍数となる確率を求めよ．

117問目

問題：\(p,q\)を素数とする．\(p\),\(p+q\),\(p+2q\)が全て素数となる場合，\(p,q\)を求めよ．

116問目

問題：\(\int_{0}^{1}\frac{x^4(1-x)^4}{2}dx\)\(<\int_{0}^{1}\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx\)\(<\int_{0}^{1}x^4(1-x)^4dx\)の式を用い，\(\pi\)を小数点第2位まで求めよ．

115問目

問題：(1)数列\({a_{n}}\)は，\(a_{n}>0\)，\(a_{n+1}^2=a_{n}+12\)（\(n=1,2,\cdots\)）を満たすとする．この時，極限\(\lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}\)を求めよ．(2)数列\({a_{n}}\)は，\(a_{n}>0\)，\(a_{n+1}^2\)\(=na_{n}+2n^2+3n+1\)（\(n=1,2,\cdots\)）を満たすとする．この時，極限\(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_{n}}{n}\)を求めよ．

114問目

問題：あるコンピュータプログラムを使い，仮想的に\(A,B\)2人でじゃんけんを行う．なお，コンピュータの設定でじゃんけんのグー・チョキ・パーの出す確率を変えられるとする．①じゃんけんの設定で\(A,B\)のグー・チョキ・パーの出す確率を同じとする場合，2回じゃんけんした時の\(A\)が勝ち越す確率\(P_{A}\)の範囲を求めよ．②\(n\)回じゃんけんした時に全て勝ち続けるか，あいこになり続けるか，負け続ける場合の確率\(X\)の範囲を求めよ．

113問目

問題：一辺の長さが1の正三角形\(ABC\)において，\(AB\)上に点\(D\)，\(AC\)上に点\(E\)を取り，\(DE\)で折り曲げる．三角形の重なった面積を\(S\)とする．\(AD=x\),\(AE=y\)とする時，面積を\(x,y\)で表せ．

112問目

問題：三角形\(ABC\)において，\(A\)が\(y\)軸上にあり，\(BC\)が\(x\)軸上にあり，\(BC\)の中点が原点にある．また\(AB,AC\)が，原点を中心とする半径1の円に接している．(1)三角形\(ABC\)の面積の最小値を求めよ．(2)三角形\(ABC\)の辺の長さの最小値を求めよ．

111問目

問題：\(a,b,c\)を実数とする三次関数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)において，\(f(x)=0\)が3つの実数解を持つとする．極大値となる\(x\)を\(m\)，極小値となる\(x\)を\(n\)とするとき，①3つの実数解の範囲を\(m,n\)を使って求めよ．②\(mn=-1\)を満たし，①で求めた実数解の範囲の最大値，最小値が\(f(x)=0\)の時，\(x\)軸と\(f(x)\)で囲まれる面積\(S\)の最小値を求めよ．

110問目

ベクトル

問題：三角形\(ABC\)において，\(BC=a\)，\(CA=b\)，\(AB=c\)，\(\displaystyle \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=p\)，\(\displaystyle \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=q\)，\(\displaystyle \overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=r\)とした時に次の問いに答えよ．(i)三角形\(ABC\)の各辺の長さは整数，\(p\)は素数，\(r=k^2\)，\(k\)は正の整数の時，\(p\)が最小となる時の\(p,q,r\)を求めよ．(ii)\(4(p^2+q^2+r^2)\)\(\geqq a^4+b^4+c^4\)が成立することを示せ．また，等号成立する場合の\(a,b,c\)の条件を求めよ．

109問目

整数，図形

問題：三角形の面積が整数の時，全ての辺の長さが奇数にならないことを示せ．

108問目

問題：\(m,n,r,s\)を正の整数とする．\({}_{r}P_{s}+{}_{r}C_{s}=m!+n!\)が成立し，\(m,n,r,s\)を小さい順に並べた数列が公差1の等差数列である時，\(m,n,r,s\)を求めよ．

107問目

整数，図形と計量

問題：各辺が\(a,b,c\)の三角形\(ABC\)において，\(a+c=2b\)が成り立ち，三角形\(ABC\)のある角度が\(60^{\circ}\)の時，三角形\(ABC\)は正三角形になることを示せ．

106問目

問題：一次関数\(y=ax+b\cdots(1)\)，二次関数\(y=ax^2+bx+c\cdots(2)\)，三次関数\(y=ax^3+bx^2+cx\cdots(3)\)でいずれの関数の組み合わせでも実数の重解を持つ場合，一次関数と三次関数で囲まれる面積を\(S_{1}\)，二次関数と三次関数で囲まれる面積を\(S_{2}\)とした時，\(S_{1}/S_{2}\)の値を求めよ．

105問目

問題：一辺が\(a\)の正方形\(ABCD\)の中に，一辺が\(a\)の正三角形\(EFG\)の各頂点を中心に，異なる二頂点を半径\(a\)の円弧で結んでできる図形であるルーローの三角形が存在する．このルーロの三角形は，常に頂点か円弧が正方形\(ABCD\)の辺に接しながら，正方形\(ABCD\)の内部を動いている．この場合，ルーローの三角形が動く範囲の面積を求めよ．

104問目

二次関数，三角関数，微分積分

問題：一辺の長さが\(s\)の正三角形の重心が原点にあり，原点中心で三角形が回転する．ある放物線が三角形の全ての頂点を通る時に，放物線と三角形で囲まれる部分で，正三角形の面積を除く部分の面積の最小値を求めよ．

103問目

場合の数

問題：\(x,y\)は負ではない整数とする．(1)\(xy=2000\)の\((x,y)\)の個数を求めよ．他3問

102問目

三角関数・整数

問題：三辺が整数かつ互いに素である場合，直角三角形の斜辺ともう一つの辺の差が1の時，残りの一辺は1以外の奇数になることを示せ．(その他2問)

101問目

関数など

問題：\(x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx=0\)の解を\(\alpha\),\(\beta\),\(\gamma\),\(0\)とすると，\(\frac{1}{\alpha+\beta+\gamma}=\frac{1}{\alpha\beta}+\frac{1}{\beta\gamma}+\frac{1}{\gamma\alpha}\)\(=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}\)が成り立っている．① \(f(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx\)と置く．\(f(x)=0\)が異なる3つの実数解を持つ時，\(f(x)\)を求めよ．③ ①のとき\(n\)を整数とする時，\(f(n)\)は12で割ると余りが6か0になることを示せ．また余りが6になるときを\(n\)の値が小さい順から\(k_{1},k_{2},\cdots\)とするとき，数列\(k_{i}\)を求めよ．

100問目

問題：以下の式を満たす素数\(p,q\)を求めよ． (1) \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=p\) (2) \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=pq\) \((p<q)\)

99問目

問題：\(\displaystyle f(n)=\frac{1}{4}n^{4}+an^{3}+bn^{2}+cn+d\)とおく．定数\(a,b,c,d\)は\(\displaystyle 0 \leqq a<\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle 0 \leqq b<\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle 0 \leqq c<\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle 0 \leqq d<\frac{1}{2}\)を満たし，すべての整数\(n\)に対して\(f(n)\)は整数である．この条件を満たす\((a,b,c,d)\)の組をすべて求めよ．

98問目

問題：\(|x^{2}-2x-4|<2|x|+1\)の不等式を解け．

97問目

問題：放物線\(y=ax^{2}+bx+c\)が2直線\(y=sx+u\)，\(y=tx+u\)と接する場合，その接点の\(x\)座標の和が0であることを示せ．ただし\(s \neq t\)である．

96問目

問題：実数\(a,b\)で\(x^{2}-ax-b=0\)と\(x^{3}-(2a^{2}+b)x+2ab=0\)がただ1つの共通の解を持つ時，\(a,b\)と共通解を求めよ．

95問目

範囲

問題：\(a+b+c=1\)，\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\)が成り立つときの\(c\)の範囲を求めよ．

94問目

問題：\(x,y\)を実数とする時，\((x+y)^n\leqq a(x^{n}+y^{n})\)が常に成り立つような定数\(a\)の最小値は？

93問目

問題：今放物線\(z=y^{2}\)を\(z\)軸の周りの回転して得られる曲面を\(A\)とする．またこれを\(z=y+2\)となる平面\(B\)で切る．このとき，（１）曲面\(A\)と平面\(B\)に囲まれる体積を求めよ．（２）切り口上に光源点\(P\)をとる．点\(P\)がこの切り口上を動くとき，\(z=0\)の\(xy\)平面で影となる部分の面積を求めよ．

92問目

図形と方程式

問題：実数\(x,y\)が\(4x^2y^2+2xy+x^2+y^2\leqq 3\)を満たしながら変化するとする．\(m>0\)の時，\(xy-m(x+y)\)の最大値を\(m\)を用いて表せ．

91問目

問題：\(p\),\(2p-1\),\(3p+4\),\(p^2+4\)がいずれも素数であるような\(p\)をすべて求めよ．

90問目

問題：曲線\(y=\log x\)に点\((a,b)\)から引き得る接線の本数を求めよ．

89問目

問題：1辺の長さが\(1,1,\sqrt{2}\)の直角二等辺三角形を底面とし高さが1の三角柱を考える．この三角柱を平面で切り，その断面が3辺とも三角柱の側面上にある正三角形であるようにする．そのような正三角形の面積がとりうるような値の範囲を求めよ．

88問目

問題：(1) \(a_{1}=1\)，\(\frac{a_{1}+2a_{2}+\cdots+na_{n}}{n}=a_{n+1}\)で，数列\(a_{n}\)の一般項を求めよ．(2) \(\lim_{n\rightarrow\infty}(a_{n})^{\frac{1}{n}}\)を求めよ．

87問目

問題：(1)\(x=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin t+\cos t\)，\(y=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin t-\cos t\) \((0\leqq t<2\pi)\)の概形を\(xy\)平面に描け．(2)\(x\)軸で図形を回転させた時にできる立体の体積を求めよ．

86問目

問題：二等辺三角形の中に半径\(r\)の内接円が存在する．(1)二等辺三角形の面積が最小となる時，三角形の面積を\(r\)を用いて表せ．(2)二等辺三角形の辺の長さが最小となる時，辺の長さを\(r\)を用いて表せ．

85問目

問題：数列\({a_n}\)（\(n\)は自然数）において，\(a_n>0,a_1>1\)，\(\displaystyle \frac{a_n^3}{a_n^2+1}=\frac{1}{2}a_{n+1}^2\)が成立するとき，\(1<a_n<a_{n-1}<\cdots<a_1\)が成立することを示せ．

84問目

ベクトル

問題：平面上の3点\(O,A,B\)は条件\(\displaystyle 2|\overrightarrow{AB}|\)\(=\displaystyle |2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|\)\(=\displaystyle |\overrightarrow{OB}-4\overrightarrow{OA}|=4\sqrt{3}\)を満たす．\(△OAB\)の面積を求めよ．

83問目

問題：正四面体\(ABCD\)がある．各頂点から隣の頂点に移動する確率が同じ確率である場合，頂点\(A\)からスタートして，\(n\)回の移動で点\(A\)にいる確率\(p_{n}\)を求めよ．

82問目

複素数

問題：\(i=(a+bi)^n\)（\(a,b\)は実数，\(n\)は自然数）とする時，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1+b)^{\frac{b}{1-a}}\)を求めよ．

81問目

複素数

問題：②，他3問：\(1+\cos\theta+\cdots+\cos n\theta=\frac{\cos\frac{n\theta}{2}\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\)，\(\sin\theta+\cdots+\sin n\theta=\frac{\sin\frac{n\theta}{2}\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\)が成立することを示せ．

80問目

問題：\(x^3-ax^2+bx+c=0\)において，\(a,b,c\)は自然数で，\(a,c\)が互いに素であるとする．方程式の解が等差数列となる時，\(a,b,c\)を求めよ．

79問目

問題：\(\angle ABO\)\(=\angle ACO'\)\(=90^{\circ}\)とする。\(AC=a\)，\(AB=b\)，\(CO=\frac{\sqrt{21}}{3}a\)，\(BO'=\frac{\sqrt{21}}{3}b\)，\(BO=CO'=r\)が成り立つとする．\(r=1\)の時，\(a\)の値を求めよ．

78問目

問題：\(p,q\)を素数，\(m,n\)を整数とする．\(n\)が3の倍数でない場合，\(p^2-7^m=4q^n\)を満たす\(p,q,m,n\)を全て求めよ．

77問目

問題：\(p,q\)を素数，\(n\)を整数とする．\(p^2-7^n=9q^3\)を満たす\(p,q,n\)を求めよ．

76問目

問題：放物線\(y=\frac{1}{2}x^{2}\)上に点\(A\),点\(B\)が存在する．点\(A\),点\(B\)の接線同士が直交する時に，距離\(AB\)が最小となる時の距離を求めよ．

75問目

問題：\(a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)，\(a_{1}=1\)，\(a_{2}=1\)のとき次のことを示せ．(1) \(n\)は4の倍数 \(\Leftrightarrow\) \(a_{n}\)は3の倍数 (2) \(a_{n}=n^{2}\)が成り立つとき，\(n\)を求めよ．（その他複数問）

74問目

問題：中心を\(O\)とした線分\(AB\)を直径とする半円がある．点\(A\)と周上の点\(C\)を結ぶ直線で折り曲げるときに，折り曲げた部分と半円とが重なる面積が最大となるとき，\(\cos \angle OAC\)を求めよ．

73問目

問題：(1)\(0\leqq x <\pi\)の時，\(\tan x\tan 2x \tan 3x\)\(=\tan x+\tan 2x+\tan 3x\)を解け．(2)\(a+b+c=\pi\)の時，\(\tan a+\tan b+\tan c\)\(=\tan a \tan b \tan c\)であることを示せ． (3)\(\sin 10^{\circ}\sin 30^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}\)\(=\frac{1}{16}\)であることを示せ． (4)\(\cos 0^{\circ}\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}\)を求めよ．

72問目

いろいろな曲線

問題：実数\(t\)に関して\(tx+(1-t^{2})y=1+t^{2}\)を満たすときの\((x,y)\)の動く範囲を求めよ．

71問目

問題：放物線\(y=x^2\)から接線を2本引く．放物線と接線に囲まれる面積を\(S\)，各接点と接線同士の交点までの距離を\(d_{1}\)，\(d_{2}\)とする．2つの接点を通る直線が放物線の焦点\((0,\frac{1}{4})\)を通るとき，\(\frac{S}{d_{1}d_{2}}\)が一定であることを示せ．

70問目

問題：\(a_{1}\geqq a_{2}\geqq\cdots\geqq a_{n}\)，\(b_{1}\geqq b_{2}\geqq\cdots\geqq b_{n}\)のとき，\(\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\)\(\displaystyle \geqq(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k})(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}b_{k})\)となることを示せ．

69問目

ベクトル

問題：\(P\)を\(△ABC\)の内部の点とし，\(△BPC\)，\(△CPA\)，\(△APB\)の面積の比が\(1:1:1\)になるとき，点\(P\)は重心であることを示せ．

68問目

問題：(1) \(0 \leqq x <\pi\)の時，\(-16\tan 2x+45\tan x=3\)を満たす\(\tan x\)を求めよ．(2) \(0 \leqq x <\pi\)の時，\(a\tan 2x+45\tan x=3\)（\(a\)は定数）を満たす\(x\)の値はいくつか，\(a\)の値によって分類せよ．

67問目

問題：半径6，高さ8の円柱を考える．今，上底面と下底面の円周上に点を取り，その点の距離が常に10となるように点が動くとする．その点と点を棒で結ぶ．点が円周上を動く時この棒が描く図形と円柱の上下の円が囲む図形の体積を求めよ．

66問目

微分積分

問題：\(y=x^{3}-3x\)に\((a,b)\)から接線が3本引ける条件を求めよ．

65問目

問題：\(a,b,c\)は，\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)をみたす自然数とする（ピタゴラス数）．(1)\(a,b\)ののうち少なくとも片方は3の倍数となることを示せ．(2)\(a,b\)のうち少なくとも片方は4の倍数となることを示せ．(3)\(abc\)は60で割り切れることを示せ．

64問目

問題：\(n\)人の人が赤旗と白旗を持っている．合図と同時にいずれかをあげなければならない．赤旗をあげる確率を\(p\)とする．赤い旗をあげる人の期待値を求めよ．

63問目

問題：図のように扇形の内部に円が順番に\(B\)に接近しながら接している．円\(O_{n}\)の半径を\(r_{n}\)とし，面積を\(S_{n}\)とする．また，扇形の面積\(T\)とする．このとき，\(\displaystyle \lim_{\angle ABC\rightarrow 0}\frac{\sum_{n=1}^{\infty}S_{n}}{T}\)を求めよ．

62問目

論理

問題：(A) 次の命題の真偽を判定し，偽の場合は判例を挙げよ．(1) \(ab>0\)ならば\(a>0\)かつ\(b>0\)である．(2) \(a\geqq b\)かつ\(b\geqq a\)ならば\(a=b\)である．(B) 次は必要条件，十分条件，必要十分条件のいずれであるか． \(x,y,z\)を実数とする．(1) \(x>1,y>2\)は，\(x+y>3,xy>2\)であるための□ (2) \(xz=yz\)は，\(x=y\)であるための□ (3) \(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0\)は，\(x=y=z\)であるための□ (4) \(x^2+y^2+z^2=0\)は，\(x+y+z=0\)かつ\(xy+yz+zx=0\)であるための□

61問目

問題：(1) 2以上の整数\(n\)に対し，\(\displaystyle \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}\)を求めよ． (2) 任意の正の整数\(n\)に対し，\(\displaystyle \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}\)\(<2\)が成り立つことを示せ．

60問目

問題：\(x^{3}-ax^{2}-bx+6=0\)は3つの整数解を持っていて，その中に素数を持つものがある．また\(a,b\)は自然数とする．このとき\(a,b\)と三つの整数解を求めよ．

59問目

問題：\(a+b,a−c,a+c,b+c\)の値は並びかえると連続した自然数となっている．\(a,b,c\)の値を求めよ．ただし\(a,b,c\)は自然数とする．

58問目

行列

問題：今座標変換行列\(A=\displaystyle \frac{1}{1+a^{2}} \left(\begin{array}{cc} 1-a^2 & -2a \\ 2a & 1-a^2 \\ \end{array}\right)\)がある．これを使い，点\(P\)を座標変換する．(中文略) \(L=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}(P_{1}P_{0}+P_{2}P_{0}+\cdots+P_{n}P_{0})\)を求めよ．

57問目

問題：\(y=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}}\)となるグラフに対し，\(0\leqq x\leqq\sqrt{3}\)の範囲で，\(y\)軸を軸として回転させたときにできる立体の体積を求めよ．

56問目

図形と計量

問題：三角形\(ABC\)において\(AB=c\)，\(BC=a\)，\(CA=b\)，面積を\(S\)，内接円の半径を\(r\)，外接円の半径を\(R\)とおく．\(r=3\)，\(R=\displaystyle \frac{17}{2}\)，\(S=60\)のとき，\(a,b,c\)の値を求めよ．\((a<b<c)\)

55問目

問題：\(\sqrt{n}(n\geqq 1)\)は\(\displaystyle \frac{a}{b}\)と\(\displaystyle \frac{a+nb}{a+b}\)の間にあることを証明せよ．ただしここでは重なるときも間とみなす．\((a>0,b>0)\)

54問目

問題：ここに3つの異なる数があるとする．それを小さい順に並べた時に等比数列をなしており，さらに2つの差が正となるように差を求め，その差を小さい順に並べると等差数列となっている．最も小さい値を\(a\)としたとき，3つの数を求めよ．

53問目

問題：2次方程式\(ax^{2}-bx+c=0\)において，\(a,b,c\)は\(a^2+b^2+c^2 \leqq 100\)を満たす自然数であり，\(a,b,c\)は1以外の共通因数を持たない．また，2つの有理数解を持ち，片方の解\(\alpha\)は\(1<\alpha<3\)，もう片方の解\(\beta\)は\(\beta\geqq 3\)を満たす．このとき，\(a,b,c\)の値を求めよ．

52問目

範囲

問題：\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=81\cdots\)① \((a+b+c)^{3}=729\cdots\)② \(ab+bc+ca=x\cdots\)③ \(a,b,c\)が実数の解を持つときの\(x\)の範囲は？

51問目

問題：\(a_{n}>0\)を条件とする．\(S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}\)として，\(a_{n}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}n=S_{n}\)\((n\geqq 1)\)が成り立つとき，\(a_{n}\)を求めよ．

50問目

問題：\(t^{3}-bt^{2}-at-a=0\)の3つの解を\(\sin x\)，\(\cos x\)，\(\tan x\)とするとき\(x\)の値と\(a,b\)の値を求めよ．\((0 \leqq x<2\pi)\)

49問目

図形と方程式

問題：\(a>0,b>0\)とし，\(x,y\)が\(x^{2}+y^{2} \leqq a^{2}\)，\(bx+y\leqq a\)を同時に満たす時，\(x+y\)の最大値を求めよ．

48問目

問題：次の極限値を求めよ．\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^{2}}}\)

47問目

問題：\([x]\)は\(x\)を超えない最大の整数を意味する．次の式を満たす\(x,y\)を求めよ．　\(\displaystyle x+[y]=\frac{7}{5}\cdots\)①　\(\displaystyle \left[\frac{1}{x}\right]+\frac{1}{y}=\frac{13}{5}\cdots\)②

46問目

問題：\(AB=AC\)のとき，\(△DEF\)の面積を\(S'\)，\(△ABC\)の面積を\(S\)とすると，\(\displaystyle \frac{S'}{S}\)の範囲をあらわせ．

45問目

問題：(1)\(e^{\pi}\)と\(\pi^{e}\)はどちらが大きいか？ (2)\(a^{b}=b^{a}\)を満たすような自然数\(a,b\)を求めよ．(\(a\neq b\))

44問目

問題：次の方程式を\(x\)について解け．(A) \(\sqrt{2}\sin x +\sqrt{2}\cos x +\tan x =3\) \((0\leqq x<\pi)\) (B) \(\sqrt{2}\sin x +\sqrt{2}\cos x +\tan x =2\) \((0\leqq x<2\pi)\)

43問目

問題：\(n\)を自然数とするとき，次の和を求めよ．(A) \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k {}_{n}C_{k}\)，(B) \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{2} {}_{n}C_{k}\)，(C) \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{3} {}_{n}C_{k}\)

42問目

問題：\(x,y\)が2つの不等式\(x \geqq y\cdots\)①，\(y\geqq x^{2}-3x+1\cdots\)②を満たすとき，\(\displaystyle \frac{x^{2}}{3x^{2}-4xy+2y^{2}}\)のとりうる値の最大値，最小値を求めよ．

41問目

問題：\(f(x)=x^3+ax^2+bx+p\)において，\(a,b\)が整数，\(p\)が素数とする．(1)\(a,b\)は\(b=ka\) \(\left(\displaystyle 1<k \leqq\frac{3}{2}\right)\)を満たすとする．\(f(x)=0\)がただ1つの解を持ち，それが整数解の時，\(a,b,p\)を求めよ．

40問目

問題：今，\(y=a^{3}x^{2}\)となるグラフに上から\(\displaystyle \frac{1}{a}\)の棒を落とす．このときに棒と放物線が囲む面積の最大値が\(a\)に無関係であることを求めよ．

39問目

問題：\(S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\log\cos\frac{x}{2^{k}}\)とおく．\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=\log\frac{\sin x}{x}\)となることを示せ．ただし，\(0<x<\pi\)とする．

38問目

問題：定積分\(I=\displaystyle \int_{0}^{\pi}\frac{x\sin^{2}x}{\sin^{6}x+\cos^{6}x}dx\)の値を求めよ．なお，\(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sin^{6}x+\cos^{6}x}dx\)\(=\pi\)であることを使ってもよい．

37問目

問題：定積分 \(I=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\tan x}dx\) を求めよ．

36問目

問題：\(I=\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}dx\)の不定積分を求めよ．

35問目

問題：\(\pi^{2}>9.8\)を示せ．必要なら\(\sqrt 3<1.73206,~\sqrt 2<1.41422\)を使ってもよい．

34問目

指数対数

問題：\(e^{2}>7\)を示せ．

33問目

指数対数

問題：\(\log_{2}(-3x+1)+\log_{\frac{1}{4}}x \leqq 1\)の\(x\)の範囲を求めよ．

32問目

微分積分

問題：放物線\(y=x^{2}\)と2本の接線が\(x=a\),\(x=b\) \((a<b)\)で接している．放物線と接線で囲まれる面積Aを求めよ．

31問目

問題：\(\displaystyle y=x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\frac{1}{x}+\frac{3}{2}\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\)の\(y\)の範囲を求めよ．

30問目

問題：\(\displaystyle y=x+6+\frac{4}{x}\)の\(y\)の範囲を求めよ．

29問目

複素数

問題：与式：\(ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\)，\(i\)を虚数とする．\(a=1,b=3−i,c=2−3i\)で，実数解を1つのみ持つとき，\(d\)の値を求めよ．ただし虚数解は純虚数解とする．また解も求めよ．

28問目

問題：\(a_{n}=3^{4n}13^{n}+(-1)^{n-1}2^{5n}\)の公約数を求めろ．あなたが選んだ公約数をこの問題のあなたの得点とする．

27問目

問題：\(\tan x+\displaystyle \frac{2}{3}-\frac{10\sin x\cos x}{3}=0\)を解いて，\(\sin x\)の値を出せ．\((0 \leqq x <\pi)\)

26問目

問題：\(\displaystyle \theta\rightarrow\frac{\pi}{4}\)のとき，（1）\((\tan\theta)^{\frac{1}{\tan\theta-1}}\)の極限を求めよ．（2）\((\tan\theta)^{\frac{1}{\theta-\frac{\pi}{4}}}\)の極限を求めよ．

25問目

問題：四角形\(ABCD\)を\(BE\)と\(BF\)で折り曲げ，さらに，\(A’B\)を折り目として，\(△BEA’\)を折り曲げると，点\(E\)は\(BC\)上につく．\(AB=3,AD=4\)のとき，\(C’D\)を求めよ．

24問目

問題：（１）\(x+y+z=a\)…① \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}\)…② \(x^{3}+y^{3}+z^{3}=a^{3}\)…③ のとき　\(x^{n}+y^{n}+z^{n}=a^{n}\)となることを示せ．他1問

23問目

問題：図において，\(AD//BC,~ AD=5,~ AB=BC=CD,~ \displaystyle \cos\angle ACD=\frac{9}{16}\)のとき\(AC\)の長さを求めよ．

22問目

問題：1,2,3のカードが入った箱がある．\(n\)回カードを引いたときに，\(1,\cdots,n\)回目のカードの和が2の倍数になる確率を求めよ．

21問目

場合の数

問題：次の式が成り立つことを場合の数の観点から示せ(1)\({}_{n}C_{r}={}_{n-1}C_{r}+{}_{n-1}C_{r-1}\) \((n≧1)\) 他3問

20問目

問題：\((a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+\cdots+b_{n}^{2})\)\(\geqq(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots+a_{n}b_{n})^{2}\)であることを数学的帰納法を用いて示せ．

19問目

問題：\(x+y+z=9\)のとき，\(xy+yz+zx\)の最大値を求めよ．

18問目

問題：\(\{a_{n}\}\)の初項\(a_{1}\)から第\(n\)項\(a_{n}\)までの和を\(S_{n}\)とする．\(a_{1}=-1,S_{n}S_{n-1}=a_{n}\)を満たす数列\(a_{n}\)を求めよ．

17問目

問題：\(a_{1}=1,a_{n}+2a_{n-1}+\cdots+na_{1}=2a_{n+1}\)を満たす数列を求めよ．

16問目

問題：\(a^{3}+b^{3}=pq\)で，\(a,b\)は自然数，\(p,q\)は\(p\neq q\)の素数の時，最小となる\(pq\)の値を求めよ．

15問目

問題：\(a^{4}+4b^{4}=pq\)で，\(a,b\)は自然数，\(p,q\)は\(p<q\)となる素数の時，\(p\)が最小となる場合の\(a,b,p,q\)の値を求めよ．

14問目

問題：\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}n\int_{0}^{1}e^{-nx}|\sin n\pi x|dx\)の値を求めよ．

13問目

問題：放物線\(y=x^2+ax+b\)と直線\(y=bx+a\)に関して，交点\(PQ\)の長さ\(|PQ|=\sqrt{5(1+b^{2})}\)であるとき，\(a\)と\(b\)の関係を求めよ．

12問目

問題：①実数\(x,y\)が\(x+y=2\)および\(x\geqq0,y\geqq0\)を満たすとき，(1)\(xy\)の最大値と最小値を求めよ．(2)\(x^{2}y^{2}+x^{2}+y^{2}-xy\)の最大値と最小値を求めよ．

11問目

問題：\(a^{3}+b^{3}-3ab+1=p\)で，\(a,b\)は整数，\(p\)は素数の時，最小となる\(p\)の値を求めよ．

10問目

問題：\(a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=p\)で，\(a,b\)は自然数，\(p\)は素数の時，\(p\)の値を求めよ．

9問目

積分法，式の証明

問題：(1)ガンマ関数は\(\displaystyle \Gamma(n)=\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\int_{0}^{\alpha}t^{n-1}e^{-t}dt\)という式で表せる．次の式が成り立つことを証明せよ．\(\Gamma(n)=(n-1)!\)

8問目

問題：\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!}}\)を解け．

7問目

問題：正四面体\(ABCD\)の\(AB\)上で点\(P\)が動くとき，\(\cos \angle CPD\)の最小値を求めよ．

6問目

問題：面積1の正方形を中心を通るように折り曲げる．重なる部分の面積\(S\)の範囲を求めよ．

5問目

問題：（１）\(n^{m}-n!=2\cdots①\)が成り立つ自然数\(m,n\)を求めよ．（２）\(p,q\)は\(q>p\)となる素数である時，\(n^{q}-n!=p\cdots②\)が成り立つ自然数\(n\)は存在しないことを示せ．

4問目

問題：\(p,q\)を素数とする．\(pq+1\)と\(p^{2}+q^{2}-2\)が素数となるとき，\((p,q)\)を求めよ．ただし，\(p>q\)とする．

3問目

問題：2，3を除く素数\(p\)について，\(p^{2}-1\)は24で割りきれることを示せ．

2問目