MATH

リーマン　”If only I had the Theorems! Then I should find the proofs easily enough”

¶極限

☆数列の極限

項がどこまでも限りなく続く数列を無限数列という．

数列\(\{a_{n}\}\)において，\(n\)を限りなく大きくするとき，一定の値\(\alpha\)(極限値)に限りなく近づく(収束する)ならば，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha\)　もしくは\(n\rightarrow\infty\)のとき\(a_{n}→\alpha\)と書く．

また，\(\{a_{n}\}\)が収束しない時，発散するという．発散については以下の3通りある．

・\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\)(正の無限大に発散)

・\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=-\infty\)(負の無限大の発散)

・振動(極限はない)

○数列の極限の性質

数列\(\{a_{n}\},\{b_{n}\}\)が\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha,\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\beta\)に収束するとする．性質として以下のことが成り立つ．

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(sa_{n}+tb_{n})=s\alpha+t\beta\)(\(s\)と\(t\)は定数)

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=\alpha\beta\)

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\alpha}{\beta}\)\((\beta\neq0)\)

ただし通常問題で問われるのは収束しない場合についても問われることが多い．

例

１，\(a_{n}=\displaystyle \frac{1}{n}, b_{n}=n+1\)のとき，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0,\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\infty\)

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}b_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1\)

２，\(a_{n}=n, b_{n}=n+1\)のとき，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty,\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\infty\)

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1\)

○極限の大小関係

数列\(\{a_{n}\},\{b_{n}\}\)が\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha,\lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\beta\)に収束するとする．

１，全ての\(n\)について\(a_{n}\leqq b_{n}\)ならば\(\alpha\leqq\beta\)

２，全ての\(n\)について\(a_{n}\leqq c_{n}\leqq b_{n}\)で，\(\alpha=\beta\)ならば，数列\(\{c_{n}\}\)も収束して，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}c_{n}=\alpha\)　(はさみうちの原理)

３，全ての\(n\)について\(a_{n}\leqq b_{n}\)で\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\)ならば，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}b_{n}=\infty\)　(追いだしの原理)

基本的に演習で使うようになるのは2が大半で3は少し使い，1はほとんど使わない．

例

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\cos\frac{n\pi}{10}\)についてそのままでは答えは求められないが，

\(-1\displaystyle \leqq\cos\frac{n\pi}{10}\leqq 1\)で，\(-\displaystyle \frac{1}{n}\leqq\frac{1}{n}\cos\frac{n\pi}{10}\leqq\frac{1}{n}\)となる．

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\pm\frac{1}{n}\right)=0\)なので，はさみうちの原理より，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\cos\frac{n\pi}{10}=0\)となる．

○無限等比数列

数列\(a_{n}=ar^{n-1}(n=1,2,3,\cdots)\)とするとき，これを無限等比数列という．

この極限については以下のようになる．極限なので，\(n−1\)ではなくてもよい．(\(n\)など)

\(r>1\)のとき\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}ar^{n-1}=\infty\)

\(r=1\)のとき\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}ar^{n-1}=a\)

\(|r|<1\)のとき\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}ar^{n-1}=0\)

\(r\leqq-1\)のとき，振動(極限なし)

またこれより数列が収束するための必要十分条件は\(−1<r≦1\)である．

例

\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-r^{n}}{1+r^{n}}\)の収束値を求めよ．\((r\neq−1)\)

\(r>1\)のとき\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-r^{n}}{1+r^{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\frac{1}{r})^{n}-1}{(\frac{1}{r})^{n}+1}=-1\)

\(r=1\)のとき\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-r^{n}}{1+r^{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-1^{n}}{1+1^{n}}=0\)

\(|r|<1\)のとき\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-r^{n}}{1+r^{n}}=1\)

\(r<-1\)のとき\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1-r^{n}}{1+r^{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(\frac{1}{r})^{n}-1}{(\frac{1}{r})^{n}+1}=-1\)

となる．

☆無限級数

無限数列\(\{a_{n}\}\)において，全てを足したものを無限数列という．また無限級数を\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)と表す．

ここで，\(S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}\)を部分和といい，これが\(n\rightarrow\infty\)で\(S\)に収束するとき，\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}=S\)と書ける．

○無限等比級数

無限等比級数\(S_{n}=\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}\)において

\(S_{n}=\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a(1-r^{n})}{1-r}\)

\(a\neq0\)のとき，

\(|r|<1\)のとき，\(\displaystyle \frac{a}{1-r}\)に収束する．

\(|r|\geqq 1\)のとき，発散する．

\(a=0\)のとき，0に収束する．

例

\(\displaystyle \frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}+\cdots\)の値は

部分和を考えると，\(S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}\)

よって答えは\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_{n}=1\)

○無限級数の性質

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=J,\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}=K\)に収束するとき無限級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(sa_{n}+tb_{n})\)は\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(sa_{n}+tb_{n})=sJ+tK\)となる．(\(s,t\)は定数)

○無限級数の収束・発散

１，無限級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)が収束する ⇒ \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\)

２，数列\(\{a_{n}\}\)が0に収束しない⇒無限級数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\)は発散する

これは収束するか発散するかを調べるものであまり使うことはない．なお使うときは必要十分条件に注意すること．

例

\(a+a(1+a)+a(1+a)^{2}+\cdots+a(1+a)^{n}+\cdots\)が収束するような\(a\)の値は

\(a_{n}=a(1+a)^{n-1}\)で，１の条件から\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0\)となる．よって，\(-1<1+a\leqq 1\) ⇔ \(-2<a\leqq 0\)

また，和については\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=a\frac{1}{1-(1+a)}=-1\)

☆関数の極限

関数\(f(x)\)において変数\(x\)が\(a\)と異なる値をとりながら\(\alpha\)に限りなく近づくとき，

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alpha\)　か\(x→a\)のとき\(f(x)→\alpha\)と書く．※もちろん\(a=\pm\infty\)となることもある．

また，正の無限大に発散するとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\infty\)もしくは\(x\rightarrow a\)のとき\(f(x)\rightarrow\infty\)

また，負の無限大に発散するとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=-\infty\)もしくは\(x\rightarrow a\)のとき\(f(x)\rightarrow-\infty\)

とかく．

また上のいずれでもない時，極限はないという．

例(極限がない)

\(f(x)=\displaystyle \frac{|x^{2}+x|}{x+1}\)は\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-1}f(x)\)に関して次のようにして書く．

\(x>−1\)のとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-1+0}f(x)=\lim_{x\rightarrow-1+0}\frac{x^{2}+x}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+0}x=-1\)　(右側極限)

\(x<−1\)のとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-1-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow-1-0}\frac{-x^{2}-x}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-0}-x=1\)　(左側極限)

これは右・左側極限の値が違うので，極限値はなし．

○関数の極限値の性質

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alpha,\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\beta\)に収束するとする．性質として以下のことが成り立つ．

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}(sf(x)+tg(x))=s\alpha+t\beta\)(\(s\)と\(t\)は定数)

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)g(x)=\alpha\beta\)

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}\)\((\beta\neq0)\)

関数\(f(x)\)について，\(a\)が関数の定義域に属するとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\)となる．

例

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}\frac{a\sqrt{x+1}+b}{x-3}=1\)のとき，\(a,b\)の値について

\(f(x)=\displaystyle \frac{a\sqrt{x+1}+b}{x-3},g(x)=x-3\)と考えると，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}f(x)g(x)=1\times 0=0\)

よって\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}(a\sqrt{x+1}+b)=0\)となる．よって\(2a+b=0\)…①

次にこの式を元の式に代入すると，

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}\frac{a\sqrt{x+1}-2a}{x-3}\)=\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}a\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\lim_{x\rightarrow 3}a\frac{x+1-2^{2}}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\lim_{x\rightarrow 3}\frac{a}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{a}{4}\)

よって\(a=4,b=−8\)となる．

○極限値の大小関係

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=\alpha,\lim_{x\rightarrow a}g(x)=\beta\)に収束するとする．

１，\(x\)が\(a\)に近い時，常に\(f(x)\leqq g(x)\)ならば\(\alpha\leqq\beta\)

２，\(x\)が\(a\)に近い時，常に\(f(x)\leqq h(x)\leqq g(x)\)で，\(\alpha=\beta\)ならば，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}h(x)=\alpha\)　(はさみうちの原理)

３，十分大きい\(x\)で，常に\(f(x)\leqq g(x)\)で\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\infty\)ならば，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=\infty\)　(追いだしの原理)

例

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\cos\frac{1}{x}\)の極限値は

\(0\displaystyle \leqq\left|\cos\frac{1}{x}\right|\leqq 1\)より，\(0\displaystyle \leqq\left|x\cos\frac{1}{x}\right|=\left|x\right|\left|\cos\frac{1}{x}\right|\leqq\left|x \right|\)

また，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}|x|=0\)なので，はさみうちの原理より，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left|x\cos\frac{1}{x}\right|=0\)

よって\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x\cos\frac{1}{x}=0\)

○\(\displaystyle \frac{\sin x}{x}\)などの極限

三角形と扇型の面積について考えると，\(\sin x<x<\tan x\)となることが分かる．

なお，\(x\)が負の場合についても\(x→−x\)とすれば成り立つことがわかる．

この式を変形すると，\(\displaystyle \cos x<\frac{\sin x}{x}<1\)　また，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\cos x=1\)

よってはさみうちの原理より，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)となる．また，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin x}=1\)となる．これを利用する問題はたくさんある．

例

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{\sin x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 3x}{3x}\cdot\frac{x}{\sin x}\cdot 3=1\cdot 1\cdot 3=3\)

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^{2}(1+\cos x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\frac{1}{1+\cos x}=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x(\frac{1}{\cos x}-1)}{x^{3}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot\frac{1}{\cos x}=1\cdot\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}\)

また，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\displaystyle \frac{1}{x}\right)^{x}=e)が成り立つ．

例

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{\sin x}}=\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}\cdot\frac{x}{\sin x}}=e^{1}=e\)

○関数の連続性など

まず連続性について

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\)で極限値を持つとき，\(x=a\)で連続であるという．

例

\(f(x)=\displaystyle \frac{|x^{2}-1|}{x+1}\)は，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}f(x)\)に関して次のようにして書く．

\(x>1\)のとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1+0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{x^{2}-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow 1+0}(x-1)=0\)　(右側極限)

\(x<1\)のとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1-0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{-x^{2}+1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow 1-0}(-x+1)=0\)　(左側極限)

またこの関数は右・左側極限ともに極限値が等しいので\(x=1\)で連続関数となる．

次に微分可能性について

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)が極限値を持つとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(a)\)と書き，\(x=a\)で微分可能であるという．

例

\(f(x)=\displaystyle \frac{|x^{2}-1|}{x+1}\)は上の例のように連続関数である．\((f(1)=0)\)

しかし，

\(x>1\)のとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{\frac{x^{2}-1}{x+1}}{x-1}=1\)

\(x<1\)のとき，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1-0}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow 1+0}\frac{\frac{-x^{2}+1}{x+1}}{x-1}=-1\)

よって\(x=1\)で微分可能ではない．

○連続関数の性質

閉区間で連続な関数は，その閉区間で最大値および最小値をもつ．

関数\(f(x)\)が閉区間\([a,b]\)で連続ならば，この区間での関数\(y=f(x)\)のグラフには切れ目がない．つまり，\(f(x)\)は\(f(a)\)と\(f(b)\)の間のすべての値をとる．(ただし\(f(a)\neq f(b)\)である．)

よって関数\(f(x)\)が閉区間\([a,b]\)で連続で\(f(a)\neq f(b)\)ならば，\(f(a)\)と\(f(b)\)の間の任意の値\(k\)に対して\(f(c)=k\)を満たす\(c\)が，\(a,b\)の間に少なくとも1つはある．(中間値の定理)

またこれより，関数\(f(x)\)が閉区間\([a,b]\)で連続で\(f(a)\)と\(f(b)\)異符号ならば，方程式 \(f(x)=0\)は \(a<x<b\)の範囲に少なくとも１つの実数解をもつ．

例

\(1=x-\sin\pi x\) おいて，\(0<x<2\)の間で，\(f(x)=x−\sin \pi x\)とおくと，\(f(0)=0,f(2)=2\)でこの関数は連続なので，少なくとも1つの実数解を持つ．