MATH

ニュートン　”私が遠くを見ることができたのは，巨人たちの肩に乗っていたからだ”

¶微分法

☆微分係数

\(f^{\prime}(a)=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

１，\(x=a\)における微分係数\(f^{\prime}(a)\)が存在するなら，\(f(x)\)は\(x=a\)で微分可能である．

２，また，\(f(x)\)が\(x=a\)で微分可能ならば\(x=a\)で連続である．（この逆は必ずしも成り立たない．例：\(y=|x|\)）

☆導関数

\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime}(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

○導関数の性質

\(y=sf(x)+tg(x)\)ならば，\(y^{\prime}=sf^{\prime}(x)+tg^{\prime}(x)\)

○いろいろな導関数

はじめのうちは4がかなり重要になってきます．

１，\({f(x)g(x)}^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x)\)　積の導関数

２，\((x^{a})^{\prime}=ax^{a-1}\)　\(x^{a}\)の導関数(\(a\)は実数)

３，\(\displaystyle \left \{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g{}^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^{2}}\)　商の導関数　特に\(\displaystyle \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}^{\prime}=\frac{-g{}^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^{2}}\)

４，\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\)　合成関数の導関数

５，\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\)　逆関数の微分法

６，\((\displaystyle \sin x)^{\prime}=\cos x (\cos x)^{\prime}=-\sin x, (\tan x)^{\prime}=\frac{1}{\cos^{2}x}\)　三角関数の導関数

７，\((\displaystyle \log|x|)^{\prime}=\frac{1}{x}, (\log_{a}|x|)^{\prime}=\frac{1}{x\log a}\)　対数関数の導関数

８，\((e^{x})^{\prime}=e^{x}, a^{x}=a^{x}\log a\)　指数関数の導関数（\(e=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\)）

９，\(x=f(t), y=g(t), \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f{}^{\prime}(t)}\)

以上のことを組み合わせることで解ける計算がたくさんある．

例

１，８　\((3xe^{x})^{\prime}=(3x)^{\prime}e^{x}+3x(e^{x})^{\prime}=3(x+1)e^{x}\)

２，　\((\displaystyle \sqrt{x})^{\prime}=(x^{\frac{1}{2}})^{\prime}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

３，　\((\displaystyle \frac{3x^{2}+1}{2x+1})^{\prime}=\frac{(3x^{2}+1)^{\prime}(2x+1)-(3x^{2}+1)(2x+1)^{\prime}}{(2x+1)^{2}}=\frac{12x^{2}+6x-6x^{2}-2}{(2x+1)^{2}}=\frac{6x^{2}+6x-2}{(2x+1)^{2}}\)

３，　\((\displaystyle \frac{1}{2x+1})^{\prime}=\frac{-2}{(2x+1)^{2}}\)

２，４　\((\displaystyle \frac{1}{2x+1})^{\prime}\)について\(y=\displaystyle \frac{1}{2x+1}=\frac{1}{X}\)とおくと，

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d(2x+1)}\cdot\frac{d(2x+1)}{dx}=\frac{d}{dX}X^{-1}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1)=-X^{-2}\cdot 2=\frac{-2}{(2x+1)^{2}}\)（ここの4，の使い方はよく覚えておくこと！超重要です！）

２，４　\(\displaystyle \frac{3x^{2}+1}{2x+1}=\frac{(2x+1)(\frac{3}{2}x-\frac{3}{4})+\frac{7}{4}}{2x+1}=\frac{3}{4}(2x-1)+\frac{7}{4}\frac{1}{2x+1}\)

よって\(\displaystyle \frac{3}{4}\times 2+\frac{7}{4}\times\frac{-2}{(2x+1)^{2}}=\frac{3}{2}-\frac{7}{2(2x+1)^{2}}\)

４，７　\(\displaystyle \frac{d}{dx}\log|f(x)|=\frac{d}{df(x)}\log|f(x)|\cdot\frac{df(x)}{dx}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\)（準公式）

４，６，７　\((\sin(\log x))^{\prime}\)について\(y=\sin(\log x)\)とおくと

\(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{d(\log x)}\cdot\frac{d(\log x)}{dx}=\cos(\log x)\cdot\frac{1}{x}=\frac{\cos(\log x)}{x}\)（4，を意識しなくても計算できるよう計算して慣れましょう．）

例

○対数微分法

\(y=x^{x}\)（\(x>0\)）を微分せよ．

両辺の絶対値の自然対数をとると，

\(\log|y|=\log|x^{x}|=x\log x\)

両辺の関数を\(x\)で微分する．

左辺=\(\displaystyle \frac{d}{dx}\log|y|=\frac{d}{dy}\log|y|\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime}}{y}\)（４，７を使用）

右辺=\(x^{\prime}\log x+x(\log x)^{\prime}=\log x+1\)　（１，７を使用）

よって\(y^{\prime}=y(\log x+1)=x^{x}(\log x+1)\)

□円についての導関数

\(x^{2}+y^{2}=1\)について

１，\(y=\pm\sqrt{1-x^{2}}\)

\(y^{\prime}=\displaystyle \pm\frac{dy}{d(1-x^{2})}\cdot\frac{d(1-x^{2})}{dx}=\pm\frac{1}{2}(1-x^{2})^{-\frac{1}{2}}\cdot(-2x)=\frac{x}{\mp\sqrt{1-x^{2}}}=-\frac{x}{y}\)（+は－，－は＋になる）

２，両辺を\(x\)で微分すると\(\displaystyle \frac{d}{dx}x^{2}+\frac{d}{dx}y^{2}=0\) ⇔ \(2x+2y\displaystyle \frac{dy}{dx}=0\) ⇔ \(y^{\prime}=-\displaystyle \frac{x}{y}\)

３，\(x=\cos t,y=\sin t\)とおくと，

\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\cos x}{-\sin x}=-\frac{x}{y}\)

※以下の内容は，少し応用的なことをするときに使う．

放物線は一般的に\(y^{2}=4ax\)とおける．この導関数は\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{2y}{4a}}=\frac{2a}{y}\)

楕円は一般的に\(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)とおける．この導関数は両辺を\(x\)で微分すると，\(\displaystyle \frac{2x}{a^{2}}+\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0\)

よって，\(y^{\prime}=-\displaystyle \frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x}{y}\)

双曲線は一般的に\(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)とおける．この導関数は両辺を\(x\)で微分すると，\(\displaystyle \frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}}\frac{dy}{dx}=0\)

よって，\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x}{y}\)

○高次導関数

\(y=f(x)\)の第\(n\)次導関数は\(y^{(n)}, f^{(n)}(x), \displaystyle \frac{d{}^{n}y}{dx^{n}}, \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x)\)と表せる．

例

\(y=x^{n}\)の第\(n\)次導関数は\(y^{\prime}=nx^{n-1}\cdots y^{(n)}=n(n-1)\cdots 2\cdot 1=n!\)

☆微分法の応用

○接線と法線の式

曲線　\(y=f(x)\)上の点\((a,f(a))\)における接線は，

\(y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)\)である．これは点\((a,f(a))\)上の傾きが\(f^{\prime}(a)\)であり，点\((a,f(a))\)を通るためである．

一方法線は傾きが\(-\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}(a)}\)となるだけなので，式は\(y-f(a)=-\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}(a)}(x-a)\)である．

例題

\(y=\log x\)で\((1,0)\)での接線を求めよ．

\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{1}{x}\)から，\(y-0=\displaystyle \frac{1}{1}(x-1)\)から，\(y=x−1\)

一方法線も同様に求めて，\(y=−x+1\)

例題

\(y=\sqrt{x}\)で\((-1,0)\)からひいた接線の式を求めよ．

まず，接線から決める．\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}\)接線を（\(a,\sqrt{a}\)）とおくと，

接線は\(y-\displaystyle \sqrt{a}=\frac{1}{2\sqrt{a}}(x-a)\)　この式が，\((-1,0)\)を通るので代入する．整理すると，\(a=1\)

よって接線は\(y=\displaystyle \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)

※

放物線 \(y^{2}=4ax\)上の点\((x_{1},y_{1})\)における接線の式は，\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{\frac{2y}{4a}}=\frac{2a}{y}\)から，

\(y-y_{1}=\displaystyle \frac{2a}{y_{1}}(x-x_{1})\) ⇔ \(yy_{1}-y_{1}^{2}=2a(x-x_{1})\) ⇔ \(yy_{1}=2a(x+x_{1})\)（\(y_{1}^{2}=4ax_{1}\)を使った．）

楕円 \(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)上の点\((x_{1},y_{1})\)における接線の式は，\(y^{\prime}=-\displaystyle \frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x}{y}\)から，

\(y-y_{1}=-\displaystyle \frac{b^{2}}{a^{2}}\frac{x_{1}}{y_{1}}(x-x_{1})\) ⇔ \(a^{2}yy_{1}+b^{2}xx_{1}=a^{2}y_{1}^{2}+b^{2}x_{1}^{2}\)

ここで，\(\displaystyle \frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1\)から，\(a^{2}y_{1}^{2}+b^{2}x_{1}^{2}=a^{2}b^{2}\) よって，

\(a^{2}yy_{1}+b^{2}xx_{1}=a^{2}b^{2}\) ⇔ \(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}+\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1\)

双曲線 \(\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)は楕円と同じようにやれば，\(\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1\)となる．

※方程式の重解と接線（どっかの国立大で関連する内容として出たような…？）

曲線 \(y=f(x)\)と直線 \(y=ax+b\)が点\((c,f(c))\)で接する必要十分条件は\(f(x)−ax−b\)が\((x-c)^{2}\)で割りきれることである．

証明

割り切れる→剰余の定理関連を思い出せ！

\(g(x)=f(x)−ax−b\)とおく．

\(g(x)=(x-c)^{2}h(x)+dx+e\)とおけて，\(d=e=0\)となることをしめせばよい．

\(f(c)=ac+b\)から，

\(g(c)=0\)

また\(g(c)=dc+e\)

よって\(dc+e=0\)…①

\(g^{\prime}(x)=2(x-c)h(x)+(x-c)^{2}h^{\prime}(x)+d=(x-c)\{2h(x)+h^{\prime}(x)\}+d\)

\(f^{\prime}(c)=a\)から，

\(g^{\prime}(c)=f^{\prime}(c)-a=0\)

また，\(g^{\prime}(c)=d\)

よって，\(d=0\)…②

①②より，\(d=e=0\)なので，\(g(x)=(x-c)^{2}h(x)\)となる．

○平均値の定理（証明はロルの定理を使うため高校範囲外）

関数\(f(x)\)が閉区間\([a,b]\)で連続，開区間\((a,b)\)で微分可能ならば，

\(\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c),a<c<b\)を満たす実数cが存在する．

(※閉区間は端が含まれている．つまり，\(a,b\)は存在している．一方で開区間は端が含まれていない．)

これは不等式などに使える．

○関数のグラフと増減，極大極小

□増減

区間\((a,b)\)で常に\(f^{\prime}(x)>\)\((<0)\)ならば，\(f(x)\)は閉区間\([a,b]\)で単調に増加(減少)する．

区間\((a,b)\)で常に\(f^{\prime}(x)=0\)ならば，\(f(x)\)は閉区間\([a,b]\)で定数である．

(関数\(f(x),g(x)\)が閉区間\([a,b]\)で連続で，開区間\((a,b)\)で常に\(f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)\)ならば，\(g(x)-f(x)\)は閉区間\([a,b]\)で定数である．)

これはグラフを考えてみるとわかりやすい．傾きがある区間で正なら，もちろんグラフは上がっていくでしょ．

例題

関数 \(y=x−x\log x\)の増減を調べろ．(意外とこの範囲は重要)

\(y^{\prime}=1-\log x-1=-\log x\)

\(0<x<1\)で\(y^{\prime}>0\)より，単調増加，\(x>1\)で\(y^{\prime}<0\)より，単調減少．

□極値(極大値・極小値)

\(f(x)\)が\(x=a\)で極値を取るならば，\(f^{\prime}(a)=0\)（必要条件）

例

\(y=\displaystyle \frac{3x+8}{x^{2}+4}\)の極値を求めよ．

\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{3(x^{2}+4)-(3x+8)2x}{(x^{2}+4)^{2}}=\frac{-(3x-2)(x+6)}{(x^{2}+4)^{2}}\)

ここで，\((x^{2}+4)^{2}>0\)なので，\(-(3x-2)(x+6)\)の符号を考えればよい．

増減表を書けば，グラフの様子なども少しわかるのでよい．

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -6 & \cdots & \frac{2}{3} & \cdots \\ \hline y'& - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline y &\searrow& -\frac{1}{4} &\nearrow&\frac{9}{4}&\searrow \\ \hline & & 極小 & & 極大 & \\ \end{array}

よって\(y\)は，\(x=-6\)で極小値\(-\displaystyle \frac{1}{4}\)，\(x=\displaystyle \frac{2}{3}\)で極大値\(\displaystyle \frac{9}{4}\)を取る．

例

\(y=\displaystyle \frac{3x+a}{x^{2}+4}\)が\(x=-6\)で極値をとるように\(a\)の値を求めよ．またこの時の極値を求めよ．

極値を取る条件は\(y^{\prime}=0\) \((x=-6)\)である．

\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{3(x^{2}+4)-(3x+a)2x}{(x^{2}+4)}\)から\(-3(-6)^{2}-2a(-6)+12=0\) ⇔ \(a=8\)

逆に（必要条件だけだから）\(a=8\)のとき，

\(y^{\prime}=\displaystyle \frac{-(3x-2)(x+6)}{(x^{2}+4)^{2}}\)で上の例と極値の答えは同じである．

□最大・最小

ここは基本的に，関数を微分して増減表を書いて最大最小を求める方法となる．

例

\(y=x\sqrt{1-x^{2}}\)の最大値・最小値を求めよ．

\(y^{\prime}=\displaystyle \sqrt{1-x^{2}}+x\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{1-2x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}\)

これで増減表を書く．（ここでは省略する）

これより，\(x=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)のとき，最小値\(y=-\displaystyle \frac{1}{2}\)をとり，\(x=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\)のとき，最大値\(y=\displaystyle \frac{1}{2}\)をとる．

○グラフと第二次導関数(ここはあまり使わないと思う)

関数\(f(x)\)が第2次導関数\(f^{\prime\prime}(x)\)を持つとする．

\(f^{\prime\prime}(x)>0\)である区間では，曲線\(y=f(x)\)は下に凸で，

\(f^{\prime\prime}(x)<0\)である区間では，曲線\(y=f(x)\)は上に凸である．

□変曲点

曲線\(y=f(x)\)において，\(f^{\prime\prime}(a)=0\)のとき\(x=a\)の前後で符号が変化するとき，点\((a,f(a))\)は変曲点である．

また，点\((a,f(a))\)が変曲点なら\(f^{\prime\prime}(a)=0\)

□第二次導関数と極値

\(x=a\)を含むある区間では連続であるとする．

\(f^{\prime}(a)=0\)かつ\(f^{\prime\prime}(a)<0\)ならば，\(f(a)\)は極大値で，

\(f^{\prime}(a)=0\)かつ\(f^{\prime\prime}(a)>0\)ならば，\(f(a)\)は極小値である．

※ここはグラフを詳しく書かせる問題以外は基本的に使わないと考えてよい．

○グラフ

グラフを描く時は増減表を書き，それを参考にして描く．詳しく描くときは変曲点，漸近線について調べたほうが良い．

なお漸近線についてだが，\(y=f(x)\)のグラフにおいて

１，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}y=a, \lim_{x\rightarrow-\infty}y=a\)が成り立つとき，\(y=a\)は漸近線である．

２，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow b+0}y=\infty, \lim_{x\rightarrow b-0}y=\infty\lim_{x\rightarrow b+0}y=-\infty, \lim_{x\rightarrow b-0}y=-\infty\)のいずれかが成り立てば，\(x=b\)は漸近線である．

３，\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}\{y-(ax+b)\}=0\)または\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow-\infty}\{y-(ax+b)\}=0\)が成り立つとき\(y=ax+b\)は曲線\(y=f(x)\)の漸近線である．

○応用

例題

\(ax^{2}-3x+4a-8=0\)の実数解の個数を求めよ．

数学2Bまでの人なら判別式などを利用すればいいのですが，ここではグラフを利用しましょう．

上の式を変形させて，\(a=\displaystyle \frac{3x+8}{x^{2}+4}\) よって，\(y=\displaystyle \frac{3x+8}{x^{2}+4}\)と\(y=a\)の共有点について調べてばよい．

\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -6 & \cdots & \frac{2}{3} & \cdots \\ \hline y'& - & 0 & + & 0 & - & \\ \hline y &\searrow& -\frac{1}{4} &\nearrow&\frac{9}{4}&\searrow \\ \hline & & 極小 & & 極大 & \\ \end{array}

増減表がこのようになっているが，漸近線について調べると，\(y=0\)が漸近線となる．グラフを描いて調べれば，\(a<-\displaystyle \frac{1}{4},a>\frac{9}{4}\)のとき，実数解は0つ\(a=0,-\displaystyle \frac{1}{4},\frac{9}{4}\)のとき，実数解は1つ\(-\displaystyle \frac{1}{4}<a<0,0<a<\frac{9}{4}\)のとき，実数解は2つ

※数学2Bまでの解き方

\(a=0\)のとき，\(-3x-8=0\)より，実数解は１つ

\(a\neq0\)のとき，\(y=ax^{2}-3x+4a-8\)として，\(y=a\left(x-\displaystyle \frac{3}{2a}\right)^{2}+4a-8-\frac{9}{4a}\)

グラフをイメージして考えるとわかりやすい．

\(a>0\)のとき，\(4a-8-\displaystyle \frac{9}{4a}=0\)で実数解1つ．解くと，\(a=\displaystyle \frac{9}{4}\) (\(-\displaystyle \frac{1}{4}\)は\(a>0\)で除外）

\(4a-8-\displaystyle \frac{9}{4a}>0\)で実数解は0つ．解くと，\(a>\displaystyle \frac{9}{4}\)

\(4a-8-\displaystyle \frac{9}{4a}<0\)で実数解は2つ．解くと\(0<a<\displaystyle \frac{9}{4}\)

\(a<0\)のとき，\(4a-8-\displaystyle \frac{9}{4a}=0\)で実数解1つ．解くと，\(a=-\displaystyle \frac{1}{4}\)（\(\displaystyle \frac{9}{4}\)は\(a<0\)で除外）

\(4a-8-\displaystyle \frac{9}{4a}<0\)で実数解は0つ．解くと，\(a<-\displaystyle \frac{1}{4}\)

\(4a-8-\displaystyle \frac{9}{4a}>0\)で実数解は2つ．解くと\(-\displaystyle \frac{1}{4}<a<0\)

以上から\(a<-\displaystyle \frac{1}{4},a>\frac{9}{4}\)のとき，実数解は0つ\(a=0,-\displaystyle \frac{1}{4},\frac{9}{4}\)のとき，実数解は1つ\(-\displaystyle \frac{1}{4}<a<0,0<a<\frac{9}{4}\)のとき，実数解は2つ

例題

\(y=\sin x\)に\((0,\pi)\)から引いた接線の方程式を求めよ．ただし，接点は\((0≦x≦\pi)\)である．

まず，接点を決める．\((a,\sin a)\)とすると，接線の方程式は \(y-\sin a=\cos a(x-a)\)

この接線が\((0,\pi)\)を通るので，\(\pi-\sin a=-a\cos a\)

ここで，\(y=\sin x−x \cos x\)とおく．このように置き，\(y\)の増減について調べる．

\(y^{\prime}=\cos x-\cos x+x\sin x=x\sin x\)

条件\((0≦x≦\pi)\)から\(y^{\prime}\geqq 0\)

よって\(y=\sin x−x\cos x\)は増加関数となる．

\(y\geqq\sin 0-0\cos 0=0\)

よって\(\pi=\sin x−x\cos x\)となる\(x\)は1つしか存在しない．（グラフ的にわかる．）

ここで，\(x=\pi\)が成り立つ．よって接線の式は\(y-\sin\pi=\cos\pi(x-\pi)\) ⇔ \(y=-x+\pi\)

例題

\(e^{x}>1+x\) \((x>0)\)が成り立つことを証明せよ．

\(f(x)=e^{x}-(1+x)\)とおく．\(f^{\prime}(x)=e^{x}-1\)

ここで，\(x>0\)なので，\(f^{\prime}(x)>0\)

よって\(f(x)\)は\(x>0\)で増加関数である．

よって\(f(x)>f(0)=0\)

よって\(e^{x}>1+x\)

※実は\(e^{x}>1+x+\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}\)が成り立っている．証明は上のように増加関数であることを使い，数学的帰納法で解く．

また\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}=e^{x}\)が成り立っている．このように極限をとった関数は出る時がある．

☆運動

ここは物理の範囲と大きくかかわるところである．なお数学として問題が出ることは少ない．よって公式のみ乗せる．学習したいのなら教科書を参考にしてください．

○速度・加速度

平面上を運動する点\((x,y)\)において時刻\(t\)の関数として表せる．速度を\(v\)，加速度を\(a\)とすると，

\(v=\left(\displaystyle \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)\), \(a=\left(\displaystyle \frac{d{}^{2}x}{dt^{2}},\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)\), \(|v|=\displaystyle \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\frac{dy}{dt}\right)^{2}}\), \(|a|=\displaystyle \sqrt{\left(\frac{d{}^{2}x}{dt^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)^{2}}\)(\(| |\)は大きさを表す．)

○近似

\(|x|≪1\)(十分小さい時),\(f(a+x)\fallingdotseq f(a)+f^{\prime}(a)x, f(x)\fallingdotseq f(0)+f^{\prime}(0)x\)

\((1+x)^{a}=1+ax\)（ニュートン近似）

ここは大学分野のマクローリン展開・テーラー展開に関係がある．

\(f(a+x)\displaystyle \fallingdotseq f(a)+f^{\prime}(a)x+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}x^{n}\)（マクローリン展開，\(a=0\)がテーラー展開）