MATH

関孝和　”理によって探る道すじこそ数学の本道”

¶行列

☆行列

\(m\)個の行，\(n\)個の列からなる行列のことを\(m\)行\(n\)列の行列または\(m\times n\)行列という．それぞれの数や文字を成分といい，\(i\)行\(j\)列目にある成分は\((i,j)\)成分という．

例

\(\left( \begin{array}{r} 1 & 2 \end{array} \right)~~ \left( \begin{array}{rr} 3 \\ 4 \end{array} \right)~~ \left( \begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\)

左から1行2列　2行1列　2行2列

\((1,1)\)成分は順番にそれぞれ\(1,3,2\)となる．

○行列の相等

行列\(A,B\)について，行と列の数が等しく(同じ型)，対応する成分がそれぞれ等しい時，\(A=B\)と書く．

例

\(A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ c & d \end{array} \right)\) のとき，\(a=1,b=4,c=2,d=3\)

※なおこれ以降の計算は「同じ型」であることが前提となる．なお行列の型は言わない限り2次の正方行列とする．

○行列の性質(注意:行列の計算方法で普段のやり方ではできないものがある．)

※ここからは普通の計算でできるので流して結構です．

○行列の和

行列の和は\(A+B\)として各成分を足せばよい．

例

\(A = \left( \begin{array}{rr} -2 & -1 \\ 2 & 3 \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 0 & 3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} -1 & 3 \\ 2 & 0 \end{array} \right)\)

○行列の差

もちろん差も和と同様に\(A-B\)として各成分を計算すればよい．

性質として，交換法則，結合法則などが成り立つ．

\(A+B=B+A\)

\((A+B)+C＝A+(B+C)\)

\(A+(-A)=O,A+O=A\)

※\(O\)は零行列といいすべての成分が0であることを示している．

○行列の実数倍

\(k\)を実数倍とするとき， \(A = k\left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} ka & kb \\ kc & kd \end{array} \right)\)

これより　\(1A=A\), \((-1)A=-A\), \(0A=O\), \(kO=O\)

\(k(lA)=(kl)A\), \((k+l)A=kA+lA\), \(k(A+B)=kA+kB\)が成り立つ．

○行列の積(注意:ここからは今までと違うやり方)

行列の積は下のようにかける．

例

\(\left( \begin{array}{r} 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 3 \\ 4 \end{array} \right)= 1\times3+2\times4=11\)

イメージとして横×縦というかんじで．

またこのように定めると，二次正方行列も計算できる．

\(\left( \begin{array}{rr} -2 & -1 \\ 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 0 & 3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} -2\times1+(-1)\times0 & -2\times4+(-1)\times(-3) \\ 2\times1+3\times0 & 2\times4+3\times(-3) \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} -2 & -5 \\ 2 & -1 \end{array} \right)\)

次に計算法則として，次のことが成り立つ．

\((kA)B=A(kB)=k(AB)\)

\((AB)C=A(BC)\)

\((A+B)C=AC+BC\)

\(A(B+C)=AB+AC\)

○単位行列

\((k,k)\)成分\((k=1,2,\cdots,n)\)がすべて1でほかの成分が全て0である行列のことを単位行列\(E\)という．

例

\( \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)~ \left( \begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

単位行列と零行列は次のような性質を持っている．

\(AE=EA=A\)　\(AO=OA=O\)

※ここで注意点

\(A\neq O,B\neq O\)であっても\(AB=O\)となることがある．これは逆に言うと\(ab=0\)のとき今までは\(a=0\)もしくは\(b=0\)とやってきたが，行列ではこれは成り立たないということである．

例

\(\left( \begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 2 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 1\times2+(-2)\times1 & 1\times4+(-2)\times2 \\ 2\times2+(-4)\times1 & 2\times4+(-4)\times2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\)

また，行列は一般的に交換法則，つまり\(AB=BA\)は成り立たない．

例

\(A = \left( \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} \right)~ B= \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\)

\(AB= \left( \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 13 & 18 \\ 11 & 16 \end{array} \right)~~ BA= \left( \begin{array}{rr} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 5 & 10 \\ 11 & 24 \end{array} \right)\)

\(AB=BA\)が成り立つとき交換可能といい，これを利用して問題を解くこともある．それは後にやる．

○ハミルトン・ケーリーの定理

ハミルトン・ケーリーの定理とは任意の2次正方行列 \(A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) に対して

\(A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)E=O\)という等式が成り立つということである．これを利用して累乗の計算を解くことがある．

○逆行列

\(AX=XA=E\)の等式を満たす\(X\)を逆行列といい，\(A^{-1}\)と表す．よって次のことが成り立つ．（実際\(AX=E\)が成り立てば\(XA=E\)も成り立つ．）

\(A^{-1}A=AA^{-1}=E,~~((A^{-1})^{-1}=A\)

ここで2次正方行列の逆行列について成分計算していけば以下のようになる．

\(A = \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) において，\(ad-bc=0\)が成り立つとき，\(A\)の逆行列は存在しない．\(ad-bc\neq0\)のとき，逆行列が存在して， \(A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)\) となる．

次に逆行列の性質として，次の式が成り立つ．

\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

また\(AX=B\)を満たす行列\(X\)を求めたいときには，以下のようにやる．

\(AX=B\)で左から\(A^{-1}\)をかけると\(A^{-1}AX=A^{-1}B\leftrightarrow X=A^{-1}B\)

このように行列では左(右)から逆行列をかけてなくすという方法はよくとられる．

○対角行列

対角行列とは以下のように\((k,k)\)成分以外が0のものをいう．

\(\left( \begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right)\)

この対角行列は \(\left( \begin{array}{rr} a & 0 \\ 0 & b \end{array} \right)^{n}= \left( \begin{array}{rr} a^{n} & 0 \\ 0 & b^{n} \end{array} \right)\) のようなことが成り立つ．(数学的帰納法)

例題　 \(A=\left( \begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right)~~ P = \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right)\) のとき，\(P^{-1}AP\)を求めよ．次に\(A^{n}\)を求めよ．

\(P^{-1} = -\frac{1}{3}\left( \begin{array}{rr} -1 & -1 \\ -2 & 1 \end{array} \right)\) 　\(P^{-1}AP = \left( \begin{array}{rr} 5 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right)\)

次に求めた行列を\(n\)乗すると，\((P^{-1}AP\))(\(P^{-1}AP\))…(\(P^{-1}AP\))=\(P^{-1}A^{n}P = \left( \begin{array}{rr} 5^{n} & 0 \\ 0 & 2^{n} \end{array} \right)\)

よって左から\(P\)右から\(P^{-1}\)をかけると\(A^{n} = P\left( \begin{array}{rr} 5^{n} & 0 \\ 0 & 2^{n} \end{array} \right)P^{-1}\)

これから\(A^{n}= -\displaystyle \frac{1}{3}\left( \begin{array}{rr} -5^{n}-2^{n+1} & -5^{n}+2^{n} \\ -2\cdot-5^{n}+2^{n+1} & -2\cdot5^{n}-2^{n} \end{array} \right)\)

○連立1次方程式

\(\left\{ \begin{array}{l} ax+by=p \\ cx+dy=q \end{array} \right.\) のような連立1次方程式を行列であらわすことができる．行列であらわすと，

\(\left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} p \\ q \end{array} \right)\) となる．よって連立1次方程式の答えを求める時は逆行列を使うことでも求められる．

\(\left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)= \displaystyle \frac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} p \\ q \end{array} \right)\)

なおこれが逆行列を持たない時は解を無数に持つもしくは解を持たない．

 無数の解を持つとき

\(\left\{ \begin{array}{l} x+2y=3 \\ 2x+4y=6 \end{array} \right.\)

\(ad-bc=0\)であるので，逆行列を持たない．またこのとき\(x+2y=3\)が両方とも成り立つので，解は無数にある．

２， 解を持たない時

\(\left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=1 \\ 4x+6y=4 \end{array} \right.\)

\(ad-bc=0\)であるので，逆行列を持たない．またこのとき下の式が\(2x+3y=2\)となり，式が矛盾するので解はない．

　例

\(\left\{ \begin{array}{l} 3x+y=kx \\ 2x+4y=ky \end{array} \right.\) が\(x=0,y=0\)以外の解を持つときの定数\(k\)の値は

\(\left( \begin{array}{rr} 3-k & 1 \\ 2 & 4-k \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 0 \\ 0 \end{array} \right)\)

ここで，\(x=y=0\)以外の解を持つときは逆行列を持たない．

よって\((3-k)(4-k)-2=0\leftrightarrow k=2,5\)

※補足

\(A=\left( \begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right)~~~ X=\left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)\) とすると，\(AX=kX\)となる．

\(k=2\)の時，\(x+y=0\)となるので，解の1つとして \(X=\left( \begin{array}{rr} 1 \\ -1 \end{array} \right)\) がある．

\(k=5\)の時，\(2x-y=0\)となるので，解の1つとして \(X=\left( \begin{array}{rr} 1 \\ 2 \end{array} \right)\) がある．

このとき\(k\)のことを固有値，\(X\)のことを固有ベクトルという．

表すと，

\(A\left( \begin{array}{rr} 1 \\ -1 \end{array} \right)= 2\left( \begin{array}{rr} 1 \\ -1 \end{array} \right)~~~ A\left( \begin{array}{rr} 1 \\ 2 \end{array} \right)= 5\left( \begin{array}{rr} 1 \\ 2 \end{array} \right)\) となる．これを2つ合わせると，

\(A\left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} 5 & 0\\ 0 & 2 \end{array} \right)\)

よって \(P=\left( \begin{array}{rr} 1 & 1\\ 2 & -1 \end{array} \right)\) とおくと，\(P^{-1}AP =\left( \begin{array}{rr} 5 & 0\\ 0 & 2 \end{array} \right)\) となる．

これから上でやったように\(A^{n}\)が求められる．

○点の移動と1次変換

1次変換\(f:(x,y)→(x^{\prime},y^{\prime})\)は一般的に次の形となる．

\(\left\{ \begin{array}{l} x^{\prime}=ax+by \\ y^{\prime}=cx+dy \end{array} \right.\)

\(\left( \begin{array}{rr} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)\)

次のような対称移動を行列であらわすことができる．

\(x\)軸： \(\left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) 　\(y\)軸： \(\left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) 　原点： \(\left( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\) 　直線\(y=x\)： \(\left( \begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\) 　相似変換(原点からの距離を\(k\)倍にする)： \(\left( \begin{array}{rr} k & 0 \\ 0 & k \end{array} \right)\)

例

点\((1,-1)\)を点\((2,-2)\)に，点\((1,2)\)を点\((5,10)\)に移す1次変換\(f\)を表す行列\(A\)についてまず

\(A\left( \begin{array}{rr} 1 \\ -1 \end{array} \right)= 2\left( \begin{array}{rr} 1 \\ -1 \end{array} \right)~~~ A\left( \begin{array}{rr} 1 \\ 2 \end{array} \right)= 5\left( \begin{array}{rr} 1 \\ 2 \end{array} \right)\) となる．あわせて，

\(A\left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 &-2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 2 & 5 \\ -2 & 10 \end{array} \right)\)

右から \(\left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 &-2 \end{array} \right)^{-1}\) をかけると， \(A\left( \begin{array}{rr} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{array} \right)\) となる．

例

\(y=3x\)に関する対称移動は1次変換である．この時，1次変換\(f\)を表す行列について

点\(P(x,y)\)　移動した点\(Q(x^{\prime},y^{\prime})\)を考えると，

１，\(y=3x\)と直線\(PQ\)は垂直であるから

\(3\cdot \displaystyle \frac{y^{\prime}-y}{x^{\prime}-x}=-1\)

２，点\(P\)と点\(Q\)の中点がちょうど\(y=3x\)上にあるので，

\(\displaystyle \frac{y^{\prime}+y}{2}=3\cdot \displaystyle \frac{x^{\prime}+x}{2}\)

式を変形すると \(\left\{ \begin{array}{l} x^{\prime}+3y^{\prime}=x+3y \\ -3x^{\prime}+y^{\prime}=3x-y \end{array} \right.\)

これを行列にすると \(\left( \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ -3 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array} \right) \displaystyle \frac{1}{5}\left( \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)\)

よって \(\left( \begin{array}{rr} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ -3 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right) \displaystyle \frac{1}{5}\left( \begin{array}{rr} -4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)\)

これより求める行列は \(\displaystyle \frac{1}{5}\left( \begin{array}{rr} -4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\)

○合成変換

1次変換\(f,g\)を表す行列をそれぞれ\(A,B\)とする．

\(f\)：点\(P(x,y)\)→点\(Q(x^{\prime},y^{\prime})\)

\(g\)：点\(Q(x^{\prime},y^{\prime})\)→点\(R(x^{\prime\prime},y^{\prime\prime})\)

とすると， \(\left( \begin{array}{rr} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array} \right)= A\left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)~~~ \left( \begin{array}{rr} x^{\prime\prime} \\ y^{\prime\prime} \end{array} \right)= B\left( \begin{array}{rr} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array} \right)\) となるので，

\(\left( \begin{array}{rr} x^{\prime\prime} \\ y^{\prime\prime} \end{array} \right)= BA\left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)\) となる．これより，合成変換\(g\circ f\)を表す行列は\(BA\)である．

これからわかると思うが合成変換は交換法則が一般的に成り立たない．

○逆変換

\(f\)：点\(P(x,y)\)→点\(Q(x^{\prime},y^{\prime})\)の変換に対し，点\(Q(x^{\prime},y^{\prime})\) →点\(P(x,y)\)となる変換を逆変換といい\(f^{-1}\)と表す．もちろん変換\(f\)に対する行列\(A\)の逆行列\(A^{-1}\)が存在しなければならない．

例

\(A=\left( \begin{array}{rr} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{array} \right)\) で表せる1次変換\(f\)をすると，点\((1,2)\)に移される元の点の座標を求めよ．

\(\left( \begin{array}{rr} x \\ y \end{array} \right)= A^{-1}\left( \begin{array}{rr} 1 \\ 2 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} 2 \\ 2 \end{array} \right)\) 　よって元の座標は\((2,2)\)

○回転移動

角度\(\theta\)回転移動させた時の行列は \(A=\left( \begin{array}{rr} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right)\) となる．

なおこれを逆変換したものは\(-\theta\)移動と同じで， \(A=\left( \begin{array}{rr} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ -\sin(-\theta) & \cos(-\theta) \end{array} \right)= \left( \begin{array}{rr} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{array} \right)\)

また角度\(\theta\)にさらに角度\(\phi\)を加えた場合合成変換となり， \(A=\left( \begin{array}{rr} \cos(\theta+\phi) & -\sin(\theta+\phi) \\ \sin(\theta+\phi) & \cos(\theta+\phi) \end{array} \right)\) となる．