MATH

パスカル　”理性によって神の実在を決定できないとしても，神が実在することに賭けても失うものは何もないし，むしろ生きることの意味が増す”

¶確率

☆確率と事象…結果が起こる事柄

○確率

まず，くじ引きで10本中1本当たりがあるものがあるとする．当たりが出る確率は\(\displaystyle \frac{1}{10}\)である．これは当たり前のことだが，確率=\(\displaystyle \frac{\text{結果が得られる場合の数}}{\text{すべての場合の数}}\)である．

例題

2人でじゃんけんする．1回でじゃんけんに勝つ確率は，

すべての場合の数（全事象）が3×3=9

また勝つときは3通りある．

よって確率は\(\displaystyle \frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)である．もちろん簡単に考えると勝つ・負ける・引き分けのうち勝つだから\(\displaystyle \frac{1}{3}\)

これからは事象\(A\)の起こる確率を\(P(A)\)と書くことにする．

○積事象・和事象・排反事象

積事象…事象\(A\)と事象\(B\)がともに起こる時の事象　\(P(A∩B)\)

和事象…事象\(A\)または事象\(B\)が起こる時の事象　\(P(A∪B)\)

排反事象…事象\(A,B\)が同時にはおこらない時の事象　\(P(A∩B)=0\)

○和事象の確率（集合の時と同じ）

\(P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)\)

例題

1から10の数の中から1つ数を選ぶ．このときに偶数または3の倍数になる確率を求めよ．

全事象は10通り，偶数になる事象は5通り，3の倍数になる事象は3通り，偶数かつ3の倍数（6の倍数）となる事象は1通り，

よって求める確率は\(\displaystyle \frac{5}{10}+\frac{3}{10}-\frac{1}{10}=\frac{7}{10}\)

○積事象の確率

\(P(A∩B)=P(A)P_{A}(B)\)（ただし\(P_{A}(B)\)は\(A\)が起こったときに\(B\)が起こる確率のことである．従属している．）

例題

10本中2本当たりがあるおみくじがあるとする．2連続でおみくじをひいたときに当たりが出ない確率を求めよ．

\(P(A)=\displaystyle \frac{8}{10}，P_{A}(B)=\frac{7}{9}\)よって求める確率は\(P(A∩B)=\displaystyle \frac{28}{45}\)

○余事象…結果が起こらない事柄

例題を見るとわかりやすい．

例題

さいころを2つ投げる．2つの目をかけた時，偶数となる確率を求めよ．

まずすべての確率についてみてみよう．

①偶数が２つ②偶数と奇数が1つずつ③奇数が2つ，このうち条件を満たすものは①と②である．

このとき考え方を変えてみよう．（①＋②＋③）の確率＝１である．よって求める確率は（①＋②）の確率＝1－③の確率と言い換えることができる．つまり，この問題は全事象の確率から偶数という結果が起こらない事象（余事象）の確率を引けばよい．そこで③の確率は\(\displaystyle \frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)となる．

よって答えは\(1-\displaystyle \frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)となる．

この例題のように余事象を使うと，簡単に問題が解けることがある．

○独立試行の確率

独立（互いの結果が影響を及ぼしあわない）な2つの試行において，事象の確率は\(P(C)=P(A)P(B)\)となる．

例題

サイコロを二回投げる時，両方とも偶数となる確率を求めよ．

1回目\(P(A)=\displaystyle \frac{1}{2}\)，2回目\(P(B)=\displaystyle \frac{1}{2}\)　よって両方とも偶数になる確率は\(P(C)=P(A)P(B)=\displaystyle \frac{1}{4}\)

○反復試行の確率

1回の試行で事象\(A\)が起こる確率を\(p\)とするとき，\(n\)回試行を繰り返し\(A\)が\(r\)回起こる確率は\({}_{n}C_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}\)

例題

コインを4回投げて表が2回出る確率を求めよ．

表を○，裏を×とする．

○○××の並び方は\({}_{4}C_{2}=6\)，また表の出る確率は\(\displaystyle \frac{1}{2}\)である．

よって求める値は\({}_{4}C_{2}\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{2}\left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^{2}=\displaystyle \frac{3}{8}\)

☆期待値…1回あたり平均的に期待される値

宝くじなどでよく聞く値であろう．これを文字であらわしてみる．

変数X（賞金など）の取りうる値を\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)としてそれぞれの変数に対してとる確率を\(p_{1},p_{2},\cdots,p_{n}\)とすると，期待値\(E\)は

\(E=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\displaystyle \cdots+x_{n}p_{n}=\sum_{k=1}^{n}x_{k}p_{k}\)　ただし\(p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}=1\)

例題

サイコロを一回投げる時出る目の期待値を求めよ．

目が1の時，確率は\(\displaystyle \frac{1}{6}\)となる．他の場合も同様．

よって求める値は\(1\displaystyle \times\frac{1}{6}+2\times\frac{1}{6}+\cdots+6\times\frac{1}{6}=\frac{7}{2}\)