MATH

ギブス　”One of the principal objects of theoretical research is to find the point of view from which the subject appears in the greatest simplicity.”

¶ベクトル

○スカラー・ベクトル

スカラーとは大きさを表す量で，ベクトルは向きと大きさを表す量である．

例

点\(A\)から\(B\)まで矢印を書きベクトル\(\overrightarrow{AB}\)と表す．大きさ(長さ)は\(|\overrightarrow{AB}|\)(スカラー)と表す．

☆平面のベクトル

ベクトルは慣れてくると，図形問題より簡単に解けるようになる．そもそもこのように記号化するのは，図形を即座に計算問題に置き換えることで，簡略化を狙ったものである．なので，計算方法になれておこう．

○ベクトルの性質

□ベクトルの演算・性質・応用(◎はよく出る)

◎和　\(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}\)(足すときはつながればよい．この場合はA)

◎減　\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\)(ある支点から考えて，後ろから引く．この場合は支点が\(O\)，後ろから\(B,A\)となる．)

あるベクトル\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\)を考える時交換法則・結合法則が成り立つ

交換法則　\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\)

結合法則　\(\overrightarrow{(a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{(b}+\overrightarrow{c})\)

逆ベクトル　\(\overrightarrow{a}\)の逆ベクトルは\(-\overrightarrow{a}\)

零ベクトル　\(\overrightarrow{0}\)(これは単に0としてしまう人がいるので注意)

実数倍　\(k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}, (k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}, k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}\)

◎平行　\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\)のとき，\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\Leftrightarrow\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\)となる実数\(k\)がある．

◎分解　\(\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\)　\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\)は平行でないとき，任意のベクトル\(\overrightarrow{p}\)はただ一つの形\(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\)(\(s,t\)は実数)に表すことができる．

◎一直線　3点\(A,B,C\)が一直線上にある時\(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}\)となる実数\(k\)がある．

○ベクトルの成分

ベクトルは成分としても扱える．\(O\)を原点として\(A(a_{1},a_{2}),B(b_{1},b_{2})\)とするとき，

\(\overrightarrow{OA}=(a_{1},a_{2}), |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\)

\(\overrightarrow{AB}=(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2}), |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}}\)となる．

また，成分の演算もできる．

\(k(a_{1},a_{2})+l(b_{1},b_{2})=(ka_{1}+lb_{1},ka_{2}+lb_{2})\)となる．

○ベクトルの内積

\(∠BOA=\theta\)とすると，(\(\overrightarrow{OA}\)と\(\overrightarrow{OB}\)のなす角を\(\theta\)とする)

\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|\cos\theta (0^\circ \leqq\theta\leqq 180^\circ)\)

垂直の場合，\(\theta=90^\circ\)なので，\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0\) (ただし，\(\overrightarrow{OA}\neq\overrightarrow{0},\overrightarrow{OB}\neq\overrightarrow{0}\))

成分を考えるとき，\(\overrightarrow{OA}=(a_{1},a_{2}), \overrightarrow{OB}=(b_{1},b_{2})\)とする．

\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}\)

\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|}=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\)(ただし，\(\overrightarrow{OA}\neq\overrightarrow{0},\overrightarrow{OB}\neq\overrightarrow{0}, 0^\circ \leqq\theta\leqq 180^\circ\))

○内接の性質

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{a}\)

\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c},\overrightarrow{a}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}\)

\((k\overrightarrow{a})\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b})\) \(k\)は実数

\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^{2}\)

○位置ベクトル

\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)とするときに，線分\(AB\)を\(m：n\)に内分する点\(P\)と外分する点\(Q\)の位置ベクトル(点\(O\)からのベクトル)をそれぞれ\(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\)とすると，

\(\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}, \overrightarrow{q}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)となる．特に，中点\(R\)の位置ベクトル\(\overrightarrow{r}\)は\(\displaystyle \overrightarrow{r}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}\)となる．

また，\(△ABC\)の重心\(G\)の位置ベクトル\(\overrightarrow{g}\)は\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}\)とすれば，

\(\displaystyle \overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}\)となる．

○ベクトル方程式

\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)とする．

□直線について

　点\(A\)を通り，\(\overrightarrow{0}\)でないベクトル\(\overrightarrow{u}\)に平行な直線のベクトル方程式は\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{u}\)(この場合の\(\overrightarrow{u}\)は方向ベクトルという．)

◎異なる2点\(A,B\)を通る直線のベクトル方程式は\(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\)(ただし，\(s+t=1\))

この下の式は非常に重要である．

直線の場合条件は\(s+t=1\)であるが，もし線分\(AB\)に点\(P\)が存在することを考えたら，\(s≧0,t≧0\)の条件が付加される．

また，もし\(△ABC\)内部に点\(P\)が存在するということを考えたければ，\(s+t≦1,s≧0,t≧0\)の条件が付加される．

　点\(A\)を通り，\(\overrightarrow{0}\)でないベクトル\(\overrightarrow{n}\)に垂直な直線のベクトル方程式は\(\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\)である．(この場合の\(\overrightarrow{n}\)は法線ベクトルという．)

点\((x_{1},y_{1})\)を通り，\(\overrightarrow{u}=(l,m)\)が方向ベクトルである直線の方程式は　\(m(x-x_{1})-l(y-y_{1})=0\)

点\((x_{1},y_{1})\)を通り，\(\overrightarrow{n}=(l,m)\)が法線ベクトルである直線の方程式は　\(l(x-x_{1})+m(y-y_{1})=0\)

※係数に注目　逆についても成り立つので，直線から○○ベクトルを考えることができる．

□円について

点\(C\)を中心とした半径\(r\)の円\(K\)のベクトル方程式は円上の点\(P\)に関して，\(|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}|=r\)となる．

☆空間ベクトル

実際平面ベクトルとやり方は変わらない．なぜなら，問題を解くときは平面上において考えるからである．

○ベクトルの成分

ベクトルは成分としても扱える．\(O\)を原点として\(A(a_{1},a_{2},a_{3}),B(b_{1},b_{2},b_{3})\)とするとき，

\(\overrightarrow{OA}=(a_{1},a_{2},a_{3}) |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\)

\(\overrightarrow{AB}=(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2}.b_{3}-a_{3}) |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}+(b_{3}-a_{3})^{2}}\)となる．

また，成分の演算もできる．

\(k(a_{1},a_{2},a_{3})+l(b_{1},b_{2}.b_{3})=(ka_{1}+lb_{1},ka_{2}+lb_{2}.ka_{3}+lb_{3})\)となる．

○ベクトルの内積

\(∠BOA=\theta\)とすると，(\(\overrightarrow{OA}\)と\(\overrightarrow{OB}\)のなす角を\(\theta\)とする)

成分を考えるとき，\(\overrightarrow{OA}=(a_{1},a_{2},a_{3}),\overrightarrow{OB}=(b_{1},b_{2},b_{3})\)とする．

\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\)

\(\displaystyle \cos\theta=\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{OB}|}=\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}\)(ただし，\(\overrightarrow{OA}\neq\overrightarrow{0},\overrightarrow{OB}\neq\overrightarrow{0}, 0^\circ \leqq\theta\leqq 180^\circ \))

○同じ平面上にある点

同じ平面上に\(A,B,C\)(一直線上でない)が存在するとき，点\(P\)がその平面上にある場合，

\(\overrightarrow{CP}=s\overrightarrow{CA}+t\overrightarrow{CB}\)となる実数\(s,t\)がある．

さらにこれを変形していく．

\(\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}=s(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})+t(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})\) ⇔ \(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+(1-s-t)\overrightarrow{OC}\)

つまり，\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\) \((s+t+u=1)\)がなりたつ．

○3次元での内分外分の座標

\(\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}\)とするときに，線分\(AB\)を\(m：n\)に内分する点\(P\)と外分する点\(Q\)の位置ベクトル(点\(O\)からのベクトル)をそれぞれ\(\overrightarrow{p},\overrightarrow{q}\)とすると，

\(\displaystyle \overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n},\overrightarrow{q}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\)となる．

これより，\(\overrightarrow{a}=(a_{1},a_{2},a_{3}) \overrightarrow{b}=(b_{1},b_{2},b_{3})\)を代入すれば，

内分点\(P\left(\displaystyle \frac{na_{1}+mb_{1}}{n+m},\frac{na_{2}+mb_{2}}{n+m},\frac{na_{3}+mb_{3}}{n+m}\right)\),外分点\(Q\left(\displaystyle \frac{-na_{1}+mb_{1}}{m-n},\frac{-na_{2}+mb_{2}}{m-n},\frac{-na_{3}+mb_{3}}{m-n}\right)\)となる．

○球面の方程式

本来はベクトルで習うところではないが，教科書内で3次元を扱うのはここだけなので，ここに記す．

中心が\(C(a,b,c)\)で，半径が\(r\)の球面の方程式は

\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=r^{2}\)

証明

ベクトルで球面上の点\(P(x,y,z)\)を表すと，

\(|\overrightarrow{CP}|=r\)…①

ここで，\(\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}=(x-a,y-b,z-c)\)

よって①を二乗すれば，求める式が得られる．

※平面方程式

これは教科書にも載っていない式である．実際入試ではこの意味を知っていると，普通より楽に解ける問題がある．(特に数Ⅲの立体の積分について)

必要ない人は見なくてもいいが，次に記す．

平面方程式の一般式は次のように示される．

\(ax+by+cz=d\)…①

なおこの平面に垂直となるベクトル\(\overrightarrow{n}\)は\(\overrightarrow{n}=(a,b,c)\)である．

証明は無視して結構です．合っていないと思うので…

証明

①の証明(細かいところは略)

同じ平面上に点\(A,B,C\)が存在する(一直線上にない)と

\(\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}+u\overrightarrow{OC}\) \((s+t+u=1)\)がなりたつ．

よって\(\overrightarrow{OP}=(x,y,z) ,\overrightarrow{OA}=(a_{1},a_{2},a_{3}), \overrightarrow{OB}=(b_{1},b_{2},b_{3}) ,\overrightarrow{OC}=(c_{1},c_{2},c_{3})\)とおくと，

\((x,y,z)=s(a_{1},a_{2},a_{3})+t(b_{1},b_{2},b_{3})+u(c_{1},c_{2},c_{3})\)

かなりテクニカルな方法を使うと，

\(x=sa_{1}+tb_{1}+uc_{1}=\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q_{1}}, (\overrightarrow{p}=(s,t,u),\overrightarrow{q_{1}}=(a_{1},b_{1},c_{1}))\)

他も同様にして得られる．

一方\(s+t+u=1\)から，

\(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{r}=1, (\overrightarrow{r}=(1,1,1))\)

よって\(ax+by+cz=\overrightarrow{p}\cdot(a\overrightarrow{q_{1}}+b\overrightarrow{q_{2}}+c\overrightarrow{q_{3}})\)

ここで，\(a\overrightarrow{q_{1}}+b\overrightarrow{q_{2}}+c\overrightarrow{q_{3}}=(a(a_{1}+b_{1}+c_{1}),b(a_{2}+b_{2}+c_{2}),c(a_{3}+b_{3}+c_{3}))\) (一直線上にないから，\(a_{n}+b_{n}+c_{n}\neq 0(n=1,2,3)\))

となるが，\(a,b,c\)はあくまでも一般式で得られる値であるから，\(a=\displaystyle \frac{d}{a_{1}+b_{1}+c_{1}},b=\frac{d}{a_{2}+b_{2}+c_{2}},c=\frac{d}{a_{3}+b_{3}+c_{3}}\)としてもよい．

よって\(a\overrightarrow{q_{1}}+b\overrightarrow{q_{2}}+c\overrightarrow{q_{3}}=d\overrightarrow{r}\)としてもよい．

これより，①は得られる．

別の証明

①で示された平面上に点\(P,A\)をとる．

平面とベクトル\(\overrightarrow{n}=(a,b,c)\)が垂直であるということは

\(\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{n}\)ということである．

よって\(\overrightarrow{OP}=(x,y,z), \overrightarrow{OA}=(a_{1},a_{2},a_{3})\)とおくと，

内積が0なので，\(a(x-a_{1})+b(y-a_{2})+c(z-a_{3})=0\) ⇔ \(ax+by+cz=d (d=aa_{1}+ba_{2}+ca_{3})\)

逆に\(ax+by+cz=d\)のとき，垂直ベクトルについて\(\overrightarrow{n}=(p,q,r)\)とおく．

平面上に点A,B,Cをとる．\(\overrightarrow{OA}=(a_{1},a_{2},a_{3}), \overrightarrow{OB}=(b_{1},b_{2},b_{3}), \overrightarrow{OC}=(c_{1},c_{2},c_{3})\)とおくと，

\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{n}\), \(\overrightarrow{AC}\perp\overrightarrow{n}\)となる．

よって内積をとり，\(p(b_{1}-a_{1})+q(b_{2}-a_{2})+r(b_{3}-a_{3})=0\)…① \(p(c_{1}-a_{1})+q(c_{2}-a_{2})+r(c_{3}-a_{3})=0\)…②

また，\(A,B,C\)は平面\(ax+by+cz=d\)上に存在する．よって

\(aa_{1}+ba_{2}+ca_{3}=d\)…③ \(ab_{1}+bb_{2}+cb_{3}=d\)…④ \(ac_{1}+bc_{2}+cc_{3}=d\)…⑤

これを\(p,q,r\)について解く．

④−③

\(a(b_{1}-a_{1})+b(b_{2}-a_{2})+c(b_{3}-a_{3})=0\)…⑥(③④⇔③⑥)

⑤−③

\(a(c_{1}-a_{1})+b(c_{2}-a_{2})+c(c_{3}-a_{3})=0\)…⑦(③⑤⇔③⑦)

ここまでで同値が有効なのは①②③⑥⑦

ここで，⑥⑦をベクトル表示にする．

\(\overrightarrow{u}=(a,b,c)\)とすると，

\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AB}=0, \overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

ここで，\(\overrightarrow{AB}\)と\(\overrightarrow{AC}\)に垂直になる場合は\(\overrightarrow{u}\)と\(\overrightarrow{p}\)の二つとなっているので，これは平行である．

よって\(\overrightarrow{u}=k\overrightarrow{p}\)

また，垂直ベクトルは長さが決まっていないので，簡単に\(k=1\)を代入してよく，

\(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{p}\)

よって垂直ベクトルは\(\overrightarrow{n}=(a,b,c)\)となる．