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コラム：必要十分条件について
必要十分条件は同値変形（⇔）が成り立つ時に使います．
例えば\(x=\pm 3\) ⇔ \(x^{2}=9\)（同値変形）のように
\(x=\pm 3\)ならば\(x^{2}=9\)が成り立ち，\(x^{2}=9\)ならば\(x=\pm 3\)が成り立つというときに必要十分といいます．
あまり理解できない人はとりあえず式変形などで”⇔”がずっと続くように計算するように注意すればいいです．
なぜこれが大事かというと必要十分性が示されていないと答えが違うようになるのです．簡単な例だと重要性が分からないと思いますが，これはどうでしょう？
問題1
\(a<b\)ならば\(a^{2}<b^{2}\)といえるか？
答えはNOです．なぜならば，\(a=−3,b=2\)の時のようにマイナスが含まれると2乗したときに不等号が逆転することがよくあるのです．これは初級編の式と証明・複素数のところを見ればわかるでしょう．
\(a,b \geqq 0\)のとき，\(a^{2}\geqq b^{2}\) ⇔ \(a\geqq b\)
このように同値変形が成り立たないと答えは違ってくるのです．次に入試問題を載せましたので見てください．
解答の②で重要になります．
問題2
(2006 大阪府大)
\(xy\)平面において，連立不等式\(|x|\leqq \pi\)，\(\cos x+\sqrt{1-y^{2}}\geqq 0\)の表す領域を図示せよ．
解説
こういう問題は式が簡単で一見すぐに解けそうですが，かなりめんどうくさい場合です．こういうのはまず対称性から求めなくてもいい部分を作りましょう．次に\(\sqrt{~}\)が絡んでくる問題は同値変形について聞かれることが多いです．つまり必要十分条件がしっかり成り立っているかを要求しているのです．ある式を2乗したものは一般的に元の式とは同じになりません．
例 \(x=3\) → \(x^{2}=9\)はOKだが，\(x^{2}=9\) → \(x=\pm 3\)で\(x=3\) ⇔ \(x^{2}=9\)とはならない．
よってこの場合慎重にする必要があります．
解答
まず\(x\) → \(−x\)としても問題の連立不等式は変わらない．よって\(y\)軸で対称となる．ゆえに対称性から\(0 \leqq x \leqq \pi\)を考えればよい．
次に考えることは\(\cos x+\sqrt{1-y^{2}}\geqq 0\)であるが，\(\sqrt{~}\)は常に正なので，\(\cos\)について考えることになる．よって\(\cos\)の符号について条件を変える必要がある．
① \(0\displaystyle \leqq x\leqq\frac{\pi}{2}\) \((\cos x \geqq 0)\)のとき，\(\cos x\geqq 0\)より，不等式\(\cos x+\sqrt{1-y^{2}}\geqq 0\)を満たしている．また元の条件として\(\sqrt{~}\)の中身は負ではないので，\(1-y^{2}\geqq 0\)より，\(−1≦y≦1\)
② \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\leqq x\leqq\pi\) \((\cos x \leqq 0)\)のとき，\(\sqrt{1-y^{2}}\geqq-\cos x (≧0)\)として両辺を二乗すると，\(1-y^{2}\geqq\cos^{2}x\) \(\Leftrightarrow\) \(\sin^{2}x\geqq y^{2}\) \(\Leftrightarrow\) \((y+\sin x)(y-\sin x)\leqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(-\sin x\leqq y\leqq\sin x\)
以上から領域は次の灰色の部分となる．
ここで解答の②で何気なく二乗していますが，\(\cos x\geqq-\sqrt{1-y^{2}}\)で二乗するのはダメなのでしょうか?答えはダメです．なぜなら問題1で解説したようにマイナスが含まれると2乗したときに不等号が逆転することがあるからです．ですので両方が正（または0）の時つまり \(a,b≧0\)のとき，\(a^{2}\geqq b^{2}\) ⇔ \(a≧b\) が成り立つことを利用するのです．ですので，上の式は本当は\(\sqrt{1-y^{2}}\geqq-\cos x\) ⇔ \(1-y^{2}\geqq\cos^{2}x\) ⇔ \(\sin^{2}x\geqq y^{2}\) ⇔ \((y+\sin x)(y-\sin x)\leqq 0\) ⇔ \(-\sin x\leqq y\leqq\sin x\)という風にすべて同値変形でつながっているのです．