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特別枠：数学夏祭り（整数）
お祭り男ではないが，夏祭りなるものに参加してみた．
問1
\(\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{r}{79}\) （\(p \leqq q\)，\(r<79\)）
をみたす正整数\(p,q,r\)の組を全て求め，\(p\)の小さい順に並べたとき，前から3番目の\(r\)と後ろから5番目の\(q\)を掛けた数\((q\times r)\)を答えよ．
問題の著作権は数学夏祭り実行委員会に帰属します．
リンク先：https://mathmatsuri.org/
方針：
整数問題は以下の3点を利用すると解ける問題が多い．
①()×()×…×()＝整数，②余り（倍数），③不等式
今回の問題は，まず①が使えそうだ．また79は素数であることを利用するかもしれない．
解答：
\(\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{r}{79}\) \(\Leftrightarrow\) \((pr-79)(qr-79)=79^2\)
ここで79が素数であり，\(r\)と79は互いに素であることから，\(p\)もしくは\(q\)の少なくともいずれかが79の因数を必ず持たないと式が成立しない．（*）
① \(q=79q'\) \((q'\geqq 1)\)の場合，
\((pr-79)(qr-79)=79^2\) \(\Leftrightarrow\) \((pr-79)(q'r-1)=79\)
ここで，\(pr-79\)，\(q'r-1\)は整数であるため，\((pr-79,q'r-1)\)\(=(1,79),(79,1),(-1,-79),(-79,-1)\)の場合を考えればよいが，\((-1,-79),(-79,-1)\)については，\(p,q,r\)は正の整数であるため，明らかに成立しない．
よって，以下の①-(A)，①-(B)の2つのパターンを考えればよい．
①-(A) \((pr-79,q'r-1)\)\(=(1,79)\)の場合，
\(pr=80=2^4\times5\)と\(q'r=80=2^4\times5\)で全く同じ因数を持つため，
\(r<79\)を満たす場合で，\(p\)を小さい順に並べると，\((p,r)\)\(=(2,40)\),\((4,20)\),\((5,16)\),\((8,10)\),\((10,8)\),\((16,5)\),\((20,4)\),\((40,2)\),\((80,1)\)が解となる．
この解はいずれも\(p \leqq q\)を満たす．
①-(B) \((pr-79,q'r-1)\)\(=(79,1)\)の場合，
\(pr=2\times79\)と\(q'r=2\)で同じ因数は1か2なく，その因数が\(r\)となる．
よって，\(r=1\)の時，\((p,q')=(79\times 2,2)\)で\(p\leqq q\)を満たすのでOK．
\(r=2\)の時，\((p,q')=(79,1)\)で\(p\leqq q\)を満たすのでOK．
② \(p=79p'\)の場合については，\(p,q\)はお互いの文字を入れ替えても元の式が成立し，全て\(q \leqq p\)となるため考えなくてよい．
以上より，\((p,q,r)\)\(=(2,79\times 2,40)\),\((4,79\times 4,20)\),\((5,79\times 5,16)\),\((8,79\times 8,10)\),\((10,79\times 10,8)\),\((16,79\times 16,5)\),\((20,79\times 20,4)\),\((40,79\times 40,2)\),\((79,79,2)\),\((80,79\times 80,1)\),\((79\times 2,79\times 2,2)\)
がすべての解となり，求める答えは，\(79\times20\times16=25280\)
解き終わった感想・気づき：（*）を考えなくても，\((pr-79,qr-79)\)\(=(1,79^2),(79,79)\)で普通に解けることが判明．解いてた時に数字を小さくする意識が働いてたから，このような謎のムーブをしたのかも．
※整数問題を作ってみたので，解いてみてください．
問題
\(p,q\)を素数，\(m,n\)を整数とする．\(n\)が3の倍数でない場合，\(p^2-7^m=4q^n\)を満たす\(p,q,m,n\)を全て求めよ．(オリジナル)
http://math03.starfree.jp/integer/a-11.html