小休止
特別枠：数学夏祭り（幾何）
お祭り男ではないが，夏祭りなるものに参加してみた．
問2
\(△ABC\)は\(\displaystyle \angle B=\frac{\pi}{4}\)，\(\displaystyle \angle C=\frac{\pi}{8}\)，\(BC=\sqrt{6}\)である．\(△ABC\)の垂心を\(H\)，外心を\(O\)，重心を\(G\)とし，外心に関して垂心と対称な点を\(L\)，線分\(GL\)を\(m:n\)に外分する点を\(D\)とする．（ただし，\(m,n\)は\(0<n<m\)をみたす実数とする．） 四角形\(ABDC\)の面積\(S\)を\(m,n\)を用いた式で表せ．
問題の著作権は数学夏祭り実行委員会に帰属します．
リンク先：https://mathmatsuri.org/
方針：
図形問題を解くときは，まずは文章や条件を適切に図に置き換えてください．その後，考えうる長さや角度を書き出してください．想像しているだけではなかなか解けません．
また，解き方としては，①初等的な方法（長さと角度を書いて），②座標を設定して解く，③ベクトルで解くが考えられます．今回は①初等的に解いてみましょう．
解答
図を書き出していくと，次のようになる．
まず問題の条件を書いていく．
また，垂線と重心と外心の長さの関係（オイラー線）から，\(HG:GO=2:1\)
さらに，\(\displaystyle \angle BAC=\frac{5\pi}{8}\)，よって，\(\displaystyle \angle BOC=2\pi-2\angle BAC=\frac{3\pi}{4}\)
よって，\(\displaystyle \angle OBC=\angle OCB=\frac{1}{2}\left(\pi-\angle BOC\right)\)\(=\displaystyle \frac{\pi}{8}\)
ここで，図に書いてある比を利用して，各図形の比の関係を求めていく．
（この方法は小学生の時にやったことがある人がいると思いますが，例えば，\(BC\)を共通の底面とした場合，\(□BGCO:□LBOC=1:3\)となります．）
\(□ABDC\)の面積＝\(△ABC\)の面積＋\(△OBC\)の面積＋\(□DBOC\)の面積なので，各項について計算していく．
ここで\(△ABC\)について，垂線\(E\)を引く．
\(BE=AE\)\(=\displaystyle CE\tan \frac{\pi}{8}\)\(=(\sqrt{2}-1)CE\)より，
\(BC=CE+BE=\sqrt{2}CE=\sqrt{6}\)
よって，\(CE=\sqrt{3}\)，\(AE=\sqrt{3}(\sqrt{2}-1\))
よって，\(\displaystyle △ABC=\frac{1}{2}BCAE=\frac{3}{2}(2-\sqrt{2})\)
次に\(\displaystyle △OBC=\frac{1}{2}BC\frac{1}{2}BC\tan \frac{\pi}{8}\)\(=\displaystyle \frac{3}{2}(\sqrt{2}-1)\)
よって，\(△ABC=\sqrt{2}△OBC\)
また，重心の長さの性質（\(BC\)の中点を\(F\)とすれば，\(AG:GF=2:1\)）を利用すれば，\(△ABC:△BGC=3:1\)
よって，\(□OBGC=△OBC+△BGC\)\(=\displaystyle △OBC+\frac{1}{3}△ABC\)\(=\displaystyle \left(1+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)△OBC\)
また，\(□DBOC:□OBGC=3x+n:x\)で\(4x=m-n\)（\(①
=x\)としている）なので，
\(□DBOC:□OBGC\)\(=\displaystyle \frac{3(m-n)}{4}+n:\frac{m-n}{4}\)\(=3m+n:m-n\)
\(□DBOC\)\(=\displaystyle \frac{3m+n}{m-n}□OBGC\)\(=\displaystyle \frac{3m+n}{m-n}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)△OBC\)
よって，
\(□ABCD\)の面積＝\(△ABC\)の面積＋\(△OBC\)の面積＋\(□DBOC\)の面積＝\(\sqrt{2}△OBC\)の面積＋\(△OBC\)の面積＋\(\displaystyle \frac{3m+n}{m-n}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)△OBC\)の面積＝\(\displaystyle \frac{3}{2}\left(1+\frac{3m+n}{m-n}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)(\sqrt{2}-1)\right)\)\(=\displaystyle \frac{3\sqrt{2}m+(\sqrt{2}-2)n}{m-n}\)
感想：仕事終わりの疲れたオッサンにとって，計算ミスを誘発しそうな問題でした．（学生時代ならスラスラ解けてたかもなぁ．）
図形の絵を作るのが面倒くさいのと，mathjaxを使って文章を書くのが面倒でした... Geogebra使いこなせるようになりたい...
ちなみに図を書いてみて，垂心と重心と外心に関係性がありそうだと検索して，オイラー線に気が付きました．