小休止
特別枠：数学夏祭り（三角関数）
お祭り男ではないが，夏祭りなるものに参加してみた．
問題
自然数\(n\)に対して，\(x\)の多項式\(T_n(x)\)で
\(\cos(n\theta)=T_n(\cos\theta)\)
が実数\(\theta\)によらず成立するものを考えることで，
\(\displaystyle K=\prod_{k=1}^{40}\cos\left(\frac{2k-1}{79}\pi\right)\)
を求め，\([|\log_2{|K|}|]\)を与えよ．ここで，数列\({a_n}\)と\(m \leqq n\)なる整数\(m,n\)に対し\(\displaystyle \prod_{k=m}^{n}a_k=a_m\times a_{m+a}\times\cdots\times a_{n-1}\times a_n\)と表し，実数\(x\)以下の最大の整数を\([x]\)と表す．
問題の著作権は数学夏祭り実行委員会に帰属します．
リンク先：https://mathmatsuri.org/
方針
色々と調査していった結果，どうやら特殊な因数分解などが関係してきそうだということが分かった．
例えば，\(\displaystyle x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)\(=\displaystyle \left(x-\cos\frac{\pi}{5}\right)\left(x-\cos\frac{3\pi}{5}\right)\)が成立する．
これをどのように求めるかというと，\(\displaystyle \theta=\frac{\pi}{5},\frac{3\pi}{5}\)の場合，\(\sin3\theta=\sin2\theta\)が成立する．これを式変形していくと，\(\displaystyle (\cos\theta)^2-\frac{1}{2}(\cos\theta)-\frac{1}{4}=0\)となる．よって，\(\displaystyle x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)に\(x=\cos\theta\)を代入すると0になることから，\(\displaystyle x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)\(=\displaystyle \left(x-\cos\frac{\pi}{5}\right)\left(x-\cos\frac{3\pi}{5}\right)\)となるわけである．
これより，\(\displaystyle \cos\frac{\pi}{5}\cdot\cos\frac{3\pi}{5}=-\frac{1}{4}\)となる．
今回の問題も同様のことをやればよいと考えられる．
参考：http://math.sakura.ne.jp/?action=common_download_main&upload_id=1378
また，\(\cos(n\theta)=T_n(\cos\theta)\)はチェビシェフの多項式と呼ばれるもので，この性質をどう活用するかがポイントとなる．
解答
\(\displaystyle \theta=\frac{2k-1}{79}\pi\) \((k=1,\cdots,40)\)とすると，
\(\cos ((2k-1)\pi+40\theta)=-\cos 39\theta\) \(\Leftrightarrow\) \(\cos 40\theta=-\cos39\theta\)が成り立つ．
よって，\(T_{40}(x)+T_{39}(x)=0\)が成立する．(ここで40と39に分けた理由は，\(\displaystyle x=\frac{2k-1}{79}\pi\) \((k=1,\cdots,40)\)を解に持つxの40次方程式を作るためである．)
ここで，チェビシェフの多項式\(T_{n}\)の性質によると，
\(x^n\)の係数は\(2^{n-1}\)で，定数項は\(n\)が偶数の場合は\(\pm 1\)，\(n\)が奇数の場合は0である．
つまり，\(T_{40}(x)+T_{39}(x)=2^{39}x^{40}+\cdots\pm 1\)である．
一方で，\(\displaystyle T_{40}(x)+T_{39}(x)\)\(=\displaystyle 2^{39}\left(x-\cos\frac{1}{79}\pi\right)\left(x-\cos\frac{3}{79}\pi\right)\cdots\left(x-\cos\frac{79}{79}\pi\right)\)である．
よって，\(\displaystyle K=\prod_{k=1}^{40}\cos\left(\frac{2k-1}{79}\pi\right)\)\(=\displaystyle \pm \frac{(-1)^{40}}{2^{39}}\)\(=\displaystyle \pm \frac{1}{2^{39}}\)
よって，\([|\log_2{|K|}|]\)\(=\displaystyle [|\log_2{|\pm \frac{1}{2^{39}}|}|]=39\)
※解答をされている方で，チェビシェフの多項式を使わずに解いてた例があったので載せておきます．（もちろん自分で咀嚼してから解答）
\(\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta\)より，
\(\displaystyle \cos\frac{1}{79}\pi \times\cos\frac{3}{79}\pi \times\cdots\times\cos\frac{77}{79}\pi \)\(=\displaystyle (-1)^{39}\cos\frac{78}{79}\pi \times\cos\frac{76}{79}\pi \times\cdots\times\cos\frac{2}{79}\pi \)\(=\displaystyle -\cos\frac{78}{79}\pi \times\cos\frac{76}{79}\pi \times\cdots\times\cos\frac{2}{79}\pi \)
よって，\(-K^2=\displaystyle \prod_{k=1}^{78}\cos\left(\frac{k\pi}{79}\pi\right)\)
ここで，\(\displaystyle \prod_{k=1}^{n-1}\cos\left(\frac{k\pi}{n}\pi\right)\)\(=\displaystyle \frac{\sin(\frac{n\pi}{2})}{2^{n-1}}\)より，
\(\displaystyle \prod_{k=1}^{78}\cos\left(\frac{k\pi}{79}\pi\right)\)\(=\displaystyle \frac{\sin(\frac{79\pi}{2})}{2^{78}}\)\(=\displaystyle \frac{-1}{2^{78}}\)
よって，\(K^2=\displaystyle \frac{1}{2^{78}}\)より，\(|K|=\displaystyle \frac{1}{2^{39}}\)
よって，\([|\log_2{|K|}|]\)\(=\displaystyle [|\log_2{|\frac{1}{2^{39}}|}|]=39\)
参考：Wikipedia 三角関数の公式の一覧
感想：
今回は方法や性質を調べないといけないこともあり，かなり難しかった．
この内容をスラスラと解ける人はすごいと思いました．
参考自作問題
(1)\(0\leqq x <\pi\)の時，\(\tan x\tan 2x \tan 3x\)\(=\tan x+\tan 2x+\tan 3x\)を解け．
(2)\(a+b+c=\pi\)の時，\(\tan a+\tan b+\tan c\)\(=\tan a \tan b \tan c\)であることを示せ．
(3)\(\sin 10^{\circ}\sin 30^{\circ}\sin 50^{\circ}\sin 70^{\circ}\)\(\displaystyle =\frac{1}{16}\)であることを示せ．
(4)\(\cos 0^{\circ}\cos 20^{\circ}\cos 40^{\circ}\cos 60^{\circ}\cos 80^{\circ}\)を求めよ．
http://math03.starfree.jp/trigonometric/a-3a.html