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特別枠：数学夏祭り（確率）
お祭り男ではないが，夏祭りなるものに参加してみた．
問題
6以上の偶数\(n\)に対して，\(n\)未満の正の奇数を無作為に1つ選んで\(p\)とする時，\(p\)と\(q=n-p\)がともに素数となる確率を\(P(n)\)とする．
（例えば，\(n=10\)のとき，\(p=1,3,5,7,9\)の5通りに対して，それぞれ\(q=9,7,5,3,1\)となるが，このうち\(p\)と\(q\)がともに素数になる組は，\((p,q)=(3,7),(5,5),(7,3)\)の3通りなので，\(P(10)=\frac{3}{5}\)である．）
80以下の偶数\(n\)の中で，\(P(n)\)が最小となる\(n\)とそのときの確率\(P(n)\)を求めよ．
問題の著作権は数学夏祭り実行委員会に帰属します．
リンク先：https://mathmatsuri.org/
方針
場合の数を確認する際に，素数が出てきた時点で順列や組合せ等の効率的な方法はおそらくないと思われる．記述式の解答をする場合は，総当たりで求める必要がある．総当たりで効率的に見つける方法として，①\(n,p\)が大きいほうから調べる（数が大きいと素数が出にくくなる，\(q\)の素数判定の数を減らす），②\(\frac{n}{2}～n\)のみを調べて，2倍(or 2倍-1)する（対称性を利用），③素数\(p\)を表形式で並べて，\(q\)の素数判定を行う．
ぐらいかなと思います．
解答
80以下の奇素数は79,73,71,67,61,59,53,47,43,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7,5,3である．
方針に基づいて，表形式で\(q=n-p\)の素数判定を行うと次のようになる．
表：\(q\)の素数判定（〇が対称，△は対称中心なので，当てはまる数は2×〇の数＋△の数）
これより答えは\(\displaystyle P(68)=\frac{4}{34}=\frac{2}{17}\)
感想
答え出すよりも表の画像化のほうが手間取りました...
ちなみにこの問題はゴールドバッハ予想に関連してるかと思います．
ゴールドバッハ予想：全ての 3 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる