小休止
特別枠：数学夏祭り（解析）
お祭り男ではないが，夏祭りなるものに参加してみた．
問題
\(\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n^{80}}\sum_{k=1}^{n}k^{79}\)を満たす数列\({a_n}\)を考える．極限\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}\)は収束することから，極限値\(\alpha\)とおける．このとき極限
\(\displaystyle K=\lim_{n\rightarrow \infty}n(\alpha-a_{n})\)
を求め，\(-[200K]\)を与えよ．
問題の著作権は数学夏祭り実行委員会に帰属します．
リンク先：https://mathmatsuri.org/
解答
\(\displaystyle S_{a}(n)=\sum_{k=1}^{n}k^a\)と置く．
\({}_{n}C_{m}\)を二項係数，\(B_j\)をベルヌーイ数とすると，
\(\displaystyle S_{a}(n)=\frac{1}{a+1}\sum_{j=0}^{a} {}_{a+1}C_{j}B_{j}n^{a+1-j}\)となる．
ここで，\(a=79\)で式変形すると，
\(\displaystyle S_{79}(n)=\frac{1}{80}\sum_{j=0}^{79} {}_{80}C_{j}B_{j}n^{80-j}\)\(=\displaystyle \frac{1}{80}{}_{80}C_{0}B_{0}n^{80}+\sum_{j=1}^{79} {}_{80}C_{j}B_{j}n^{80-j}\)
ここで，\(\displaystyle \sum_{j=1}^{79} {}_{80}C_{j}B_{j}n^{80-j}\)の\(n\)の最大次数は79である．
よって，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}\)\(=\displaystyle \frac{1}{80}{}_{80}C_{0}B_{0}+\frac{1}{n^{80}}\sum_{j=1}^{79} {}_{80}C_{j}B_{j}n^{80-j}\)\(=\displaystyle \frac{1}{80}{}_{80}C_{0}B_{0}\)
ここで，\({}_{80}C_{0}=1\)，\(B_{0}=1\)より，
\(\alpha=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_{n}\)\(=\displaystyle \frac{1}{80}\)
次に，
\(a_{n}\)\(=\displaystyle \frac{1}{80}{}_{80}C_{0}B_{0}+\frac{1}{n}\frac{1}{80}{}_{80}C_{1}B_{1}+\frac{1}{n^{80}}\sum_{j=2}^{79} {}_{80}C_{j}B_{j}n^{80-j}\)
なので，
\(n(\alpha-a_{n})\)\(=\displaystyle -\frac{1}{80}{}_{80}C_{1}B_{1}-\frac{1}{n^{79}}\sum_{j=2}^{79} {}_{80}C_{j}B_{j}n^{80-j}\)
ここで，\(\displaystyle \sum_{j=2}^{79} {}_{80}C_{j}B_{j}n^{80-j}\)の\(n\)の最大次数は78である．
よって，\(\displaystyle K=\lim_{n\rightarrow \infty}n(\alpha-a_{n})\)\(=\displaystyle -\frac{1}{80}{}_{80}C_{1}B_{1}\)
ここで\({}_{80}C_{1}=80\)，\(\displaystyle B_{1}=\frac{1}{2}\)より，
\(\displaystyle K=-\frac{1}{2}\)
よって，\(-[200K]=100\)
感想
実はこれまでの問題の中では個人的には確率の問題の次に簡単だと思いました．解自体は10分程度で求められましたので，記述していざ出そうとしたら，スマホとTwitterが連動していないことに気づいて，すぐに画像を送ることができませんでした（笑）
なので，速報でもよいので解答をすぐに出そうと決意して速攻で作りました．
この問題の\(k^{79}\)，\(n^{80}\)や\(n(\alphaーa_{n})\)を一般化，拡張すると面白そうだなと思いました．
ちなみにこれは皆さんご存じ数列の総和の一般的な内容になります．以下の内容は高校でも習うと思います．
\(\displaystyle S_{1}(n)=\frac{1}{2}n(n+1)\)
\(\displaystyle S_{2}(n)=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\)
\(\displaystyle S_{3}(n)=\frac{1}{4}n^2(n+1)^2\)
参考：ファウルハーバーの公式
あと，和に関する問題を作ったことがあるのでぜひ解いてみてください！
〇問題
\(n\)を自然数とするとき，次の和を求めよ．
(A) \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k {}_{n}C_{k}\)
(B) \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{2} {}_{n}C_{k}\)
(C) \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{3} {}_{n}C_{k}\)
http://math03.starfree.jp/formula/a-2.html
〇問題
以下の式を満たす素数\(p,q\)を求めよ．
(1) \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=p\)
(2) \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=pq\) \((p<q)\)
http://math03.starfree.jp/integer/a-15.html