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特別枠：数学夏祭り（解析）
お祭り男ではないが，夏祭りなるものに参加してみた．
問題
\(x\geqq 2\)を満たす実数\(x\)の全体の\(A\)を定義域として，3つの関数
\(\pi(x)\)\(=(x \text{以下の素数の個数})\)，\(Li(x)\)\(=\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{dt}{\log t}\)，\(\displaystyle f(x)=\frac{x}{(\log x)^3}\{(\log x)^2+\log x +2\}\)を考え，\(x>10^{10}\)に対する\(\displaystyle f(x)<\pi(x)<f(x)+\frac{x}{(\log x)^3}\)の成立を既知として用いることで，不等式
\(\displaystyle -\frac{6}{(\log 2)^4}e^{79}\)\(<\pi(e^{79})-Li(e^{79})\)\(<\displaystyle \frac{1}{79^3}e^{79}\)
を証明せよ．
問題の著作権は数学夏祭り実行委員会に帰属します．
リンク先：https://mathmatsuri.org/
方法
補正対数積分\(Li(x)\)のように積分ができない場合，①部分積分によって別の式を生み出し，残った定積分を不等式で挟んで証明するか，②微分して関数の大小から考えるような場合が考えられる．
解答
補正対数積分\(Li(x)\)を部分積分していくと，
\(Li(x)\)\(=\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{dt}{\log t}\)\(=\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{(t)'}{\log t}dt\)\(=\displaystyle \frac{x}{\log x}\)\(-\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{t}{-t(\log t)^2}dt\)\(=\displaystyle \frac{x}{\log x}\)\(+\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{(\log t)^2}dt\)
さらに，積分\(\int\)に関して，部分積分を繰り返していくと，
\(Li(x)\)\(=\displaystyle \frac{x}{\log x}\)\(+\displaystyle \frac{x}{(\log x)^2}\)\(+\displaystyle \frac{2x}{(\log x)^3}\)\(+6\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{(\log t)^4}dt\)\(=\displaystyle \frac{x}{(\log x)^3}\)\(\displaystyle \{(\log x)^2+\log x +2\}\)\(+6\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{(\log t)^4}dt\)
ここで，\(\displaystyle f(x)-Li(x)+\frac{x}{(\log x)^3}\)\(=\displaystyle \frac{x}{(\log x)^3}\)\(-6\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{(\log t)^4}dt\)
ここで，\(x\geqq 2\)の時，\(\displaystyle \frac{1}{(\log x)^4}>0\)なので，\(\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{(\log t)^4}dt>0\)
よって，\(\displaystyle f(x)-Li(x)+\frac{x}{(\log x)^3}\)\(<\displaystyle \frac{x}{(\log x)^3}\)\(\cdots (A)\)
ここで，\(x>10^{10}\)の時，\(\displaystyle \pi(x)<f(x)+\frac{x}{(\log x)^3}\)が成り立つため，\(e^{79}>2^{79}>16^{19}>10^{10}\)より，
\(\pi(e^{79})\)\(<\displaystyle f(e^{79})+\frac{e^{79}}{(\log e^{79})^3}\)が成り立つ．\(\cdots (B)\)
よって\((A),(B)\)より，\(\pi(e^{79})-Li(e^{79})\)\(<\displaystyle f(e^{79})-Li(e^{79})+\frac{e^{79}}{(\log e^{79})^3}\)\(<\displaystyle \frac{e^{79}}{(\log e^{79})^3}\)\(=\displaystyle \frac{e^{79}}{79^3}\)\(\cdots (\star)\)
次に\(\displaystyle f(x)-Li(x)\)\(=-6\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{(\log t)^4}dt\)について考える．
ここで，\(g(x)\)\(=\displaystyle \frac{x}{(\log 2)^4}\)\(-\displaystyle \int_{2}^{x}\frac{1}{(\log t)^4}dt\)と置く．
\(g'(x)\)\(=\displaystyle \frac{1}{(\log 2)^4}\)\(-\displaystyle \frac{1}{(\log x)^4}\)となり，\(x\geqq 2\)では\(g'(x)\geqq 0\)である．
よって，\(g(x)\)は単調増加関数である．
ここで，\(g(2)=\displaystyle \frac{2}{(\log 2)^4}>0\)なので，\(g(e^{79})> g(2)>0\)となる．
よって，\(g(e^{79})\)\(=\displaystyle \frac{e^{79}}{(\log 2)^4}\)\(-\displaystyle \int_{2}^{e^{79}}\frac{1}{(\log t)^4}dt>0\)
よって，\(\displaystyle f(e^{79})-Li(e^{79})\)\(=-6\displaystyle \int_{2}^{e^{79}}\frac{1}{(\log t)^4}dt\)\(>-6\displaystyle \frac{e^{79}}{(\log 2)^4}\)\(\cdots (C)\)
また，\(x>10^{10}\)の時，\(\displaystyle \pi(x)>f(x)\)が成り立つため，\(e^{79}>2^{79}>16^{19}>10^{10}\)より，
\(\pi(e^{79})\)\(>\displaystyle f(e^{79})\)が成り立つ．\(\cdots (D)\)
- よって\((C),(D)\)より，
\((\star)\)，\((\star\star)\)より，
\(\displaystyle -\frac{6}{(\log 2)^4}e^{79}\)\(<\pi(e^{79})-Li(e^{79})\)\(<\displaystyle \frac{1}{79^3}e^{79}\)
が成り立つ．
感想
難易度ほど難しくない問題だと思いますが，以下に記述したように，色々と歴史が絡んだ問題であり，最後にふさわしいと思います．
〇この問題に関連する話について
・素数定理
素数計数関数\(\pi(x)\)と補正対数積分\(Li(x)\)には次のような関係がある．\(\pi(x)≒Li(x)\)
これを素数定理という．
これは，ガウス，ルジャンドルによって，素数をどうにかしてある関数で表せないかと考えた末に出した予想であり，後に別の人たちによって証明された．
（横道にそれるが，どちらが先に発見したかは明らかでない．また，他にも最小二乗法をどちらが先に思いついたか論争を生んでいる(Abdulle & Wanner, 2002, 200 Years of Least Squares Method)．有限要素法の数値積分法として使われる，ガウス・ルジャンドル積分も，おそらくはどちらが先か問題があっただろう）．
・リーマンの素数公式
さらに素数に関して，リーマンは論文"Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse "．にて以下のリーマンの素数公式を示した（日本語訳はこちら）
\(\displaystyle f(x)=Li(x)-\sum_{\alpha} \left(Li(x^{\frac{1}{2}+\alpha i})-Li(x^{\frac{1}{2}-\alpha i})\right)+\int_{x}^{\infty}\frac{1}{(x^2-1)}\frac{dx}{x\log x}+\log \xi(0)\)
※リーマンの素数公式を明示されてもさっぱりなので，素数階段というものを可視化した，辻順平さん（産業技術総合研究所，日曜数学者）の以下の動画，スライドをご覧ください．
・1-2. 明日話したくなる「素数」のお話 - 2015/01/30
動画：https://www.youtube.com/watch?v=BSvvfcMDzeA
スライド：https://www.slideshare.net/junpeitsuji/maths4pj
さらにリーマンの素数公式で使われているリーマンゼータ関数\(\xi(s)\)に関しては，以下の「リーマン予想」が提唱されており，現在時点でまだ解決していない問題である（アメリカのクレイ数学研究所によって100万ドルの懸賞金がかけられている）
「リーマンゼータ関数 \(\xi(s)\)の非自明な零点\(s\)は全て，実部が\(\displaystyle \frac{1}{2}\)の直線上に存在する」
※言葉で説明しても分からないので，ヨビノリさんの以下の動画をご覧いただくとよいと思います．
・高校生でも楽しめるリーマン予想【前編】
https://www.youtube.com/watch?v=6GUHABmCVj8
・高校生でも楽しめるリーマン予想【後編】
https://www.youtube.com/watch?v=5fQYMIhfj3w