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ジャンル：ボツ問題
以前，問題の解を自分の得点とする問題（京都大学）を取り上げたが，同じように，解が自分の得点となるオリジナル問題を作ってみました．ただ，入試問題のように計算機を使わずに求める方法を考えてみたが，ダメでした．ただ，今回の解き方は入試問題で使う場合はあるので，記録に残しておきます．
問題
\([x]\)を\(x\)の整数部分とする．\(\displaystyle \left[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right]=3\)を満たす\(n\)を求めよ．\(n\)をあなたの得点とする．
解答の前に
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{30}\frac{1}{k}\approx 3.995\)，\(\displaystyle \sum_{k=1}^{31}\frac{1}{k}\approx 4.027\)となるので，最も得点が高いのは，30点となる．
解答
〇典型的な面積の上下関係を使った場合
面積の上下関係で以下の不等式が成立する．
\(\displaystyle \int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}dx\)\(\displaystyle <\frac{1}{k}\)\(\displaystyle < \int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}dx\)
ここで最大値を狙いに行くため，\(\displaystyle \left[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right]\) の値を4未満で4に近い値にする必要がある．一方で不等式より，
\(1+\displaystyle \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k}\)=\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\)\(\displaystyle < 1+\sum_{k=2}^{n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}dx\)
が成り立つが，右辺を4以下とすることで上部を抑える必要がある．
よって，\(\displaystyle 1+\sum_{k=2}^{n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}dx<4\) \(\Leftrightarrow\) \(\log n<3\) \(\Leftrightarrow\) \(n<e^{3}\approx 20.086\) （関数電卓，Wolmfram alpha，Desmosなどで計算）
これより求められる値は\(n=20\)であるが，全然駄目である．
次に考えるのは不等式に使う範囲を変えることである．
〇範囲を変える
例えば\(n=10\)までを考えると，\(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k}=\frac{7381}{2520}\)
よって，\(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k}+\sum_{k=1}^{11}\frac{1}{k}\)\(<\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k}+\sum_{k=11}^{n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}dx\) が成り立つが，右辺を4以下とすることで上部を抑える必要がある．
よって，\(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k}+\sum_{k=11}^{n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}dx<4\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{7381}{2520}+\log \frac{n}{10}<4\) \(\Leftrightarrow\) \(n<10e^{4-\frac{7381}{2520}}\approx 29.184\)
これより求められる値は\(n=29\)である
〇面積をより厳しい範囲に変更
\(\displaystyle \frac{1}{k+1}+\frac{1}{2(k+1)^{2}}\)\(<\displaystyle \int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}dx\)\(<\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right)\)
これより，\(\displaystyle \frac{1}{k}\)\(<\displaystyle -\frac{1}{2k^{2}}+\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}dx\)
さらに，和を考えると，
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k}+\sum_{k=11}^{n}\frac{1}{k}\)\(<\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k}-\sum_{k=11}^{n}\frac{1}{2k^{2}}+\sum_{k=11}^{n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}dx\) が成り立つが，右辺を4以下とすることで上部を抑える必要がある．
よって，
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{10}\frac{1}{k}-\sum_{k=11}^{n}\frac{1}{2k^{2}}+\sum_{k=11}^{n}\int_{k-1}^{k}\frac{1}{x}dx<4\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{7381}{2520}-\sum_{k=11}^{n}\frac{1}{2k^{2}}+\log \frac{n}{10}<4\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle n<10e^{4-\frac{7381}{2520}+\sum_{k=11}^{n}\frac{1}{2k^{2}}}\)
ここで，\(n=29\)までは成立することが分かっているので，\(\displaystyle \sum_{k=11}^{29}\frac{1}{2k^{2}}\approx 0.0306356\)を代入すると，
\(\displaystyle 10e^{4-\frac{7381}{2520}+\sum_{k=11}^{29}\frac{1}{2k^{2}}}\approx 30.09\)
ここでようやく\(n=30\)となる．
計算機を使っているので，普通に足し算していったほうが良いですね．．