小休止
ジャンル：オリジナル問題
レピュニット数に関する動画を某有名Youtuberが出していたので，何か問題を作ろうとしたところ，入試問題にはなりえない微妙な問題ができました．小休止に載せておきます．
問題
自然数\(n\)に対し，\(n\)桁全てが1である数列\(a_{n}\)を考える．
\(b_{n}=a_{n}^2\)とした時，次の問いに答えよ．
(1)\(b_{2}\)，\(b_{3}\)，\(b_{9}\)，\(b_{10}\)，\(b_{11}\)を求めよ．
(2)\(b_{2020}\)の\(2020\)桁目の数字を求めよ．
(3)\(c_{n+1}=c_{n}+d_{n}\)，\(d_{n+1}=100d_{n}+2\times10^{n+1}\)，\(c_{1}=1\)，\(d_{1}=120\)を満たす数列を考える時，\(c_{2}\)，\(c_{3}\)，\(c_{10}\)，\(c_{11}\)を求めよ．
(4)\(b_{n}-c_{n}\)を求めよ．
解答
(1)
\(b_{2}\)\(=11\)\(\times11\)\(=121\)
\(b_{3}\)\(=111\)\(\times111\)\(=12321\)
\(b_{9}\)\(=111111111\)\(\times111111111\)\(=12345678987654321\)
\(b_{10}\)\(=1111111111\)\(\times1111111111\)\(=1234567900987654321\)
\(b_{11}\)\(=11111111111\)\(\times11111111111\)\(=123456790120987654321\)
(2)
これは掛け算の筆算を考えると，次のようになる．
\(\begin{array}{lllllll}
2020 \\
~~2019 \\
~~~~2018 \\
~~~~~~2017 \\
~~~~~~~~2016 \\
~~~~~~~~~~2015 \\
22443**** \\
~~~~~↑\text{ここが2020行目}
\end{array}\)
これより，答えは4である．
(3)
\(c_{2}=121\)
\(c_{3}=c_{2}+d_{2}=121+12000+200=12321\)
\(c_{10}=1234567890987654321\)
\(c_{11}=123456789010987654321\)
(4)
※完全な証明になっていないので注意
\(b_{n}\)について考える．
\(n=10\)の時に\(10\)桁目が\(10\)となり，初めて繰り上がりが発生する．
繰り上がりを数字として表現する場合，繰り上がり前の\(1,2,\cdots,9,0,9,8,\cdots,1\)の周期性な並びに\(10^{10}\)を足すということになる．よって，
\(1234567900987654321\)\(=1234567890987654321\)\(+10^{10}\)と表される．
つまり，\(b_{10}\)\(=c_{10}+10^{10}\)が成り立つ．
\(n=11\)の場合は，\(10,11,12\) (=\(2n-10\))桁目で繰り上がりが発生するので，
\(123456790120987654321\)\(=123456789010987654321\)\(+10^{10}\)\(+10^{11}\)\(+10^{12}\)
つまり，\(b_{11}\)\(=c_{11}\)\(+10^{10}\)\(+10^{11}\)\(+10^{12}\)が成り立つ．
\(n=12\)の場合は，\(10,11,12,13,14\)(=\(2n-10\))桁目で繰り上がりが発生するので，
\(12345679012320987654321\)\(=12345678901210987654321\)\(+10^{10}\)\(+10^{11}\)\(+10^{12}\)\(+10^{13}\)\(+10^{14}\)
つまり，\(b_{12}\)\(=c_{12}\)\(+10^{10}\)\(+10^{11}\)\(+10^{12}\)\(+10^{13}\)\(+10^{14}\)が成り立つ．
さらに，\(n=20\)の時に\(20\)桁目が\(20\)となり，さらに和を考える必要がある．
つまり，
\(b_{20}\)\(=c_{20}\)\(+\displaystyle \sum_{k=10}^{30}10^k\)\(+10^{20}\)と表される．
これを一般的な表現にすると，\(b_{n}\)\(=c_{n}\)\(+\displaystyle \sum_{j=1}^{[\frac{n}{10}]}\sum_{k=0}^{2(n-10j)}10^{k+10j}\)
※ちなみにレピュニット数の入試問題は次の通りです．
問題（2008 東大）
自然数\(n\)に対し，\(\displaystyle \frac{10^n-1}{9}\)\(=\displaystyle \overbrace{111\cdots111}^{n \text{個}}\)を\(\fbox{\(n\)}\)で表す．たとえば，\(\fbox{1}=1\)，\(\fbox{2}=11\)，\(\fbox{3}=111\)である．
(1)\(m\)を0以上の整数とする．\(\fbox{\(3^m\)}\)は\(3^m\)で割り切れるが，\(3^{m+1}\)では割り切れないことを示せ．
(2)\(n\)が27で割り切れることが，\(\fbox{\(n\)}\)が27で割り切れるための必要十分条件であることを示せ．