小休止
ジャンル：オリジナル問題
学生時代，算数，数学のことに関する問題をまとめているサイトを色々と見ていました．
その時，このサイトで次のような面白い問題を見つけた．そのままの文章を載せる．
｢約数と総和との差｣
問題
山口県 ocean さんからの問題です．
【問題】
自然数Nは相異なる3つの素数p,q,rを用いて，N=pqrと表されるとする．
このとき，Nは1とN自身を含めて8個の約数を持つが，それら約数の総和をSとするとき，S−N=1234が成り立つという．
このような自然数Nをすべて求めよ．
問題としては普通に入試問題としても出せるレベルであるし，答えが出た時は感動したのを覚えている．これがある意味で自分の自作問題へのモチベーションにもなった．
解答
まず，総和SはS=(1+p)(1+q)(1+r)となる．
よってS−N=1+p+q+r+pq+qr+rp
ここで，S−N=1234から，p(q+r+1)+qr+q+r=1233
ここで，p<q<rとする．すべて奇数であると，左辺が偶数になってしまう．よってp=2とする．
これより，qr+3q+3r=1231⇔(q+3)(r+3)=1240
1240=23×5×31で，当てはまる値はq=17，r=59となる．
よってN=2006
ちなみにこの問題は2006年に出たものです．