中級者
数学Ⅲ：複素数平面
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ヒント：複素数部分は基本的な内容である．極限を求める時，うまく式変形しよう．
問題（オリジナル）
\(i=(a+bi)^n\)（\(a,b\)は実数，\(n\)は自然数）とする時，\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1+b)^{\frac{b}{1-a}}\)を求めよ．
解答
\(i=(a+bi)^{n}\)において，極形式\(a+bi=r(\cos x +i\sin x)\)を考えると，\(r=1\)，\(a=\cos x\)，\(b=\sin x\)とおける．
ここで，\(i=a_{n}+b_{n}i\)とすると，ド・モアブルの定理より，\((a+bi)^{n}\)\(=(\cos x+i\sin x)^{n}\)\(=\cos nx+i\sin nx\)となるので，\(a_{n}=\cos nx\)，\(b_{n}=\sin nx\)
よって\(a_{n}=\cos nx=0\)，\(b_{n}=\sin nx=1\)より，\(x=\displaystyle \frac{\pi}{2n}+\frac{2k\pi}{n}\)
ここで，\(n\rightarrow\infty\)のとき，\(b=\sin x\)\(=\displaystyle \sin{\left(\frac{\pi}{2n}+\frac{2k\pi}{n}\right)}\)\(\rightarrow 0\)となる．また\(\displaystyle (1+b)^{\frac{b}{1-a}}\)\(=\displaystyle (1+b)^{\frac{1}{b}\times\frac{b^{2}}{1-a}}\)\(=\displaystyle (1+b)^{\frac{1}{b}\times\frac{b^{2}}{1-\sqrt{1-b^{2}}}}\)で\(\displaystyle \frac{b^{2}}{1-\sqrt{1-b^{2}}}\)\(=\displaystyle 1+\sqrt{1-b^{2}}\)（\(a,b>0\)である．）
よって\(\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}(1+b)^{\frac{b}{1-a}}\)\(=\displaystyle \lim_{b\rightarrow 0}(1+b)^{\frac{1}{b}(1+\sqrt{1-b^{2}})}=e^{2}\)