中級者
数学A：場合の数
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ヒントは特になし．この手の問題は係数が変わった場合などの多少変更した問題が出てくるので，一度は経験しておきましょう．
問題(オリジナル)
\(x,y\)は負ではない整数とする．
(1)\(xy=2000\)の\((x,y)\)の個数を求めよ．
(2)\(xyz=2000\)の\((x,y,z)\)の個数を求めよ．
(3)\(x+y\leqq 4\)の\((x,y)\)の個数を求めよ．
(4)\(x+y+z\leqq 4\)の\((x,y,z)\)の個数を求めよ．
解答
まずは各問題で共通に利用するものとして，
2000を素因数分解した結果，\(2000=2^{4}\times 5^{3}\)を示しておく．
(1)
解法1：
\(x\)は\(2,5\)の因数それぞれに対して，持つか持たないかを判定できる．
その結果，\(2^{0},2^{1},2^{2},2^{3},2^{4}\)，\(5^{0},5^{1},5^{2},5^{3}\)のパターンが考えられ，\(y\)はその残りと考えることができる．
よって，\((x,y)\)の個数は\((4+1)\times(3+1)=20\)である．
解法2：
\(x=2^{l_{1}}\times5^{m_{1}}\)，\(y=2^{l_{2}}\times5^{m_{2}}\)（\((l_{k}\geqq 0,~m_{k}\geqq 0)\)，\(k\)は\(1,2\)）と置くと，
\(l_{1}+l_{2}=4\)，\(m_{1}+m_{2}=3\)
ここで，\(l_{1},l_{2}\)を分ける時，〇の数が個数，|が\(l_{1},l_{2}\)の個数を分ける棒であるとすると，
これは，〇〇〇〇|の組み合わせと同じである．
よって，\({}_{5}C_{1}=5\)である．
また，\(m_{1},m_{2}\)を分ける時も同様にして，\({}_{4}C_{1}=4\)である．
それぞれ独立であるため，\((x,y)\)の個数は\(5\times4=20\)である．
(2)
解法1:
(1)の方法と同様に考える．
\(x\)は2の因数を\(a\)個，5の因数を\(b\)個持つ（\(a,b\)はまずは固定値）とすると，
\(y\)の因数のパターンは次のように示される．
\(2^{0},\cdots,2^{4-a}\)，\(5^{0},\cdots,,5^{3-b}\)
\(z\)はその残りと考えることができる．
よって，\((x,y,z)\)の個数は\((4-a+1)\times(3-b+1)=(5-a)(4-b)\)である．
さらに，\(a\)は0～4，\(b\)は0～3を動くので，それぞれの和を考えると，
\(\displaystyle \sum_{a=0}^{4}\sum_{b=0}^{3}(5-a)(4-b)\)\(=\displaystyle \sum_{a=1}^{5}\sum_{b=1}^{4}ab\)\(=\displaystyle \left(\frac{1}{2}\times 5\times 6\right)\left(\frac{1}{2}\times 4\times 5\right)\)\(=150\)
よって，\((x,y,z)\)の個数は150である．
解法2：
(2)の方法と同様に考える．
2の因数については，〇〇〇〇||の組み合わせ，5の因数については，〇〇〇||の組み合わせと同じである．
よって，\({}_{6}C_{2}\)\(\times{}_{5}C_{2}\)\(=150\)
よって，\((x,y,z)\)の個数は150である．
(3)
(2)の解法1で示した，固定してから後で動かす方法を使う．
\(x+y=k\)と置く（\(k\)はまずは固定値）と，
\(x,y\)の個数は，\(0～k\)の\(k+1\)個である．
（もしくは，\(k\)個の〇と1個の|の組み合わせとなり，個数は\({}_{k+1}C_{1}=k+1\)）
さらに，\(k\)は\(0～4\)を動くので，それぞれの和を考えると，
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{4} k+1\)\(=\displaystyle \sum_{k=1}^{5} k\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}\times 5\times 6\)\(=15\)
(4)
(3)と同じ方法で解く．
\(x+y+z=k\)と置く（\(k\)はまずは固定値）と，
\(x,y,z\)の個数は，\(k\)個の〇と2個の|の組み合わせとなり，個数は\(\displaystyle {}_{k+2}C_{2}=\frac{(k+2)(k+1)}{2}\)
さらに，\(k\)は\(0～4\)を動くので，それぞれの和を考えると，
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{4} \frac{(k+2)(k+1)}{2}\)\(=\displaystyle \sum_{k=1}^{5} \frac{1}{2}(k^{2}+k)\)\(=35\)