上級者
数学Ⅲ：微分法
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ヒント：文字を置き換える時は，その範囲を考える必要がある．
問題
(1) \(0 \leqq x <\pi\)の時，\(-16\tan 2x+45\tan x=3\)を満たす\(\tan x\)を求めよ．
(2) \(0 \leqq x <\pi\)の時，\(a\tan 2x+45\tan x=3\)（\(a\)は定数）を満たす\(x\)の値はいくつか，\(a\)の値によって分類せよ．(オリジナル)
解答
(1) \(\tan x =t\)と置き，\(\displaystyle \tan 2x =\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x}\)を使うと，
\(-16\tan 2x+45\tan x=3\) \(\Leftrightarrow\) \(45t^3-3t^2-13t+3=0\) \(\Leftrightarrow\) \((3t-1)^2(5t+3)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle t=\tan x =\frac{1}{3},~-\frac{3}{5}\)(2) \(\tan x =t\)と置くと，\(\displaystyle \tan 2x =\frac{2\tan x}{1-\tan^{2}x}\)なので，\(1-\tan^{2}x\neq 0\)より，\(t=\tan x\neq\pm 1\)
よって，\(45t^3-3t^2+3=(45+2a)t\)，\(t<-1,~-1<t<1,~t>1\)
ここで，\(y=45t^3-3t^2+3\)，\(y=13t\)のグラフを書くと次のようになる．
これより，交点は次のように判定できる．
\(45+2a<13\)の時，\(t\)の解は1つ．
\(45+2a=13\)の時，\(t\)の解は2つ．
\(13<45+2a<45\)の時，\(t\)の解は3つ．
\(45+2a=45\)の時，\(t\)の解は1つ．
\(45+2a>45\)の時，\(t\)の解は3つ．
ここで，\(0 \leqq x <\pi\)の時，\(\tan x =t\)の\(x\)と\(t\)の解の数は1対1対応する．
よって，
\(a<-16\)の時，\(t\)の解は1つ．
\(a=-16\)の時，\(t\)の解は2つ．
\(0<a<-16\)の時，\(t\)の解は3つ．
\(a=0\)の時，\(t\)の解は1つ．
\(a>0\)の時，\(t\)の解は3つ．
参考入試問題
\(0 \leqq \theta <2\pi\)とし，\(a\)は定数とする．\(\cos 3\theta-\cos 2\theta +\cos\theta -1=a\)を満たす\(\theta\)の値はいくつあるか．\(a\)の値によって分類せよ．(2002京都大)
解答
よって，\(\cos x=t\)と置くと，\(0 \leqq \theta <2\pi\)
\(\cos 3\theta-\cos 2\theta +\cos\theta -1=a\) \(\Leftrightarrow\) \(4t^3-2t^2=a\) \((-1\leqq t \leqq 1)\)
\(f(t)=4t^3-2t^2\)のグラフは，次のようになる．
増減表は次の通り
\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
X & -1 & \cdots & 0 & \cdots & \frac{1}{3}& \cdots & \frac{1}{2}& \cdots & 1\\ \hline
f'(X) & + & 0 & - & 0 & + & &+ & &+\\ \hline
f(X) & -6 &\nearrow& 0 &\searrow& \frac{-2}{27}&\nearrow & 0 &\nearrow & 2\\ \hline
\end{array}
よって，\(y=f(t)\)，\(y=a\)の交点が解となる．
また，\(t\pm 1\)の解の時は，\(\theta\)の解はそれぞれ1つずつ
それ以外の\(t\)の範囲では，\(\theta\)の解は2つずつ
よって，\(a<-6\)，\(a>2\)の時，\(\theta\)の解は0個
\(a=-6\)，\(a=2\)の時，\(\theta\)の解は1個
\(\displaystyle -6<a<-\frac{2}{27}\)，\(0<a<2\)の時，\(\theta\)の解は2個
\(a=0\)，\(\displaystyle a=-\frac{2}{27}\)の時，\(\theta\)の解は4個
\(\displaystyle -\frac{2}{27}<a<0\)の時，\(\theta\)の解は6個