上級者
数学Ⅰ：二次関数，数学Ⅱ：三角関数，積分，数学Ⅲ：微分法
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ヒント：問題の設定をうまく考えれるかがポイント．さらに対称性などを利用して，考える範囲を少なくしよう．
問題
一辺の長さが\(s\)の正三角形の重心が原点にあり，原点中心で三角形が回転する．ある放物線が三角形の全ての頂点を通る時に，放物線と三角形で囲まれる部分で，正三角形の面積を除く部分の面積の最小値を求めよ．（オリジナル）
解説
図のように正三角形\(ABC\)に対し，\(\angle DOA=\alpha\)と置く．
また，放物線を二次関数（放物線の軸がy軸に平行）とした場合でも，一般性を失わない．その理由は，①3点を通る二次関数は一意に決まる．②正三角形の配置と3つの頂点は，1対1対応であり，求める面積は正三角形の配置で決まる．ためである．
各点の対称性から，角度は3分割されるため，\(\displaystyle 0<\alpha<\frac{2\pi}{3}\)としてもよい．なお，\(\displaystyle \alpha=0,\frac{2\pi}{3}\)の時は，二次関数にならないため，条件から省く．
さらに，\(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{3}\)と\(\displaystyle \frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{2\pi}{3}\)で二次関数が下に凸，上に凸と分かれるが，これも対称であるため，\(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{3}\)の場合のみ考えればよい．
ここで，重心と各点の距離は\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}s\)となる．よって，各点を\(A(x_{A},~y_{A})\)，\(B(x_{B},~y_{B})\)，\(C(x_{C},~y_{C})\)とすると，
以下のように置くことができる．
\(\displaystyle x_{A}=\frac{\sqrt{3}}{3}s\cos \alpha\)，\(\displaystyle y_{A}=\frac{\sqrt{3}}{3}s\sin \alpha\)
\(\displaystyle x_{B}=\frac{\sqrt{3}}{3}s\cos(\alpha+\frac{2\pi}{3})\)，\(\displaystyle y_{B}=\frac{\sqrt{3}}{3}s\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})\)
\(\displaystyle x_{C}=\frac{\sqrt{3}}{3}s\cos(\alpha+\frac{4\pi}{3})\)，\(\displaystyle y_{C}=\frac{\sqrt{3}}{3}s\sin(\alpha+\frac{4\pi}{3})\)
ここで，二次関数を\(y=ax^{2}+bx+c\)，求める面積を\(S\)と置くと，
\(S=\text{二次関数とABで囲まれる面積}\)\(-\text{三角形ABCの面積}\)\(=\displaystyle \int_{x_{B}}^{x_{A}}-a(x-x_{B})(x-x_{A})dx\)\(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}\)\(=\displaystyle \frac{1}{6}a(x_{A}-x_{B})^{3}\)\(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}\)\(=\displaystyle a\frac{s^{3}}{6}\sin^{3}(\alpha+\frac{\pi}{3})\)\(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}\)\(\cdots(\star)\)
次に，二次関数は点\(A,B,C\)を通るため，次の式が成り立つ．
\(y_{A}=ax_{A}^{2}+bx_{A}+c\cdots\)①
\(y_{B}=ax_{B}^{2}+bx_{B}+c\cdots\)②
\(y_{C}=ax_{C}^{2}+bx_{C}+c\cdots\)③
（\(x_{A}\neq x_{B}\)，\(x_{A}\neq x_{C}\)，\(x_{B}\neq x_{C}\)）
ここで，①～③で\(b,c\)を消去すると，
\(a=\displaystyle \frac{1}{x_{B}-x_{C}}\left(\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}-\frac{y_{A}-y_{C}}{x_{A}-x_{C}}\right)\)
さらに各値を代入して整理すると，
\(\displaystyle a=\frac{1}{s\sin(\alpha+\pi)}\left(-\frac{\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})}{\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})}+\frac{\cos(\alpha+\frac{2\pi}{3})}{\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})}\right)\)\(=\displaystyle \frac{1}{s\sin(\alpha+\pi)}\frac{\cos(\alpha+\frac{2\pi}{3})\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})-\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})\cos(\alpha+\frac{\pi}{3})}{\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})}\)
\(=\displaystyle \frac{1}{s\sin(\alpha+\pi)}\frac{\sin(\alpha+\frac{\pi}{3}-\alpha-\frac{2\pi}{3})}{\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})}\)\(=\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{2s\sin(\alpha+\frac{\pi}{3})\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})\sin(\alpha+\pi)}\)
これを\((\star)\)に代入すると，
\(S=\displaystyle \frac{\sqrt{3}s^{2}}{12}\frac{\sin^{2}(\alpha+\frac{\pi}{3})}{\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})\sin\alpha}\)\(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}\)
ここで，\(f(\alpha)\)\(=\displaystyle \frac{\sin^{2}(\alpha+\frac{\pi}{3})}{\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})\sin\alpha}\)と置く．
\(f'(\alpha)\)\(=\displaystyle \frac{3\sin 2(\alpha+\frac{\pi}{3})}{4(\sin(\alpha+\frac{2\pi}{3})\sin\alpha)^{2}}\)
よって，\(f'(\alpha)=0\)となる\(\alpha\)は\(\displaystyle \sin 2(\alpha+\frac{\pi}{3})=0\)で，\(\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}\)
ここで，\(\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{6}\)で\(f'(\alpha)<0\)，\(\displaystyle \frac{\pi}{6}<\alpha<\frac{\pi}{3}\)で\(f'(\alpha)>0\)より，\(\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{6}\)で\(f(\alpha)\)は最小値を取る．
よって答えの面積は，
\(S_{min}\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{3}s^{2}}{12}f\left(\frac{\pi}{6}\right)\)\(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}s^{2}\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{12}s^{2}\)