上級者
数学Ⅲ：微分法
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ヒント：どこの長さを変数にするか，よく考えてから設定しましょう．そのあとはひたすら計算です．
問題（類 一橋大）
三角形\(ABC\)において，\(A\)が\(y\)軸上にあり，\(BC\)が\(x\)軸上にあり，\(BC\)の中点が原点にある．また\(AB,AC\)が，原点を中心とする半径1の円に接している．
(1)三角形\(ABC\)の面積の最小値を求めよ．
(2)三角形\(ABC\)の辺の長さの最小値を求めよ．
解答
\(OA=h\)（\(h>1\)）と置くと，\(OA:OB:AB=\sqrt{h^2-1}:1:h\)から，
\(\displaystyle OB=\frac{h}{\sqrt{h^2-1}}\)
\(\displaystyle AB=\frac{h^2}{\sqrt{h^2-1}}\)
(1)
三角形\(ABC\)の面積を\(S\)とすると，
\(S=OA\times OB\)\(=\displaystyle \frac{h^2}{\sqrt{h^2-1}}\)\(=\displaystyle \sqrt{\frac{h^4}{h^2-1}}\)
ここで，\(\displaystyle f(h)=\frac{h^4}{h^2-1}\)と置くと，
\(\displaystyle f'(h)=\frac{2h^3(h^2-2)}{(h^2-1)^2}\)
増減表は次のようになる．
\begin{array}{c|c|c|c}
h &1 & \cdots & \sqrt{2}& \cdots \\ \hline
f'(h)& & - & 0 & + \\ \hline
f(h) &+\infty&\searrow& 4 &\nearrow\\ \hline
\end{array}
よって，三角形\(ABC\)の面積の最小値は2
(2)
辺の長さを\(L\)とすると，
\(L=2\times(OB+AB)\)\(=\displaystyle 2\sqrt{\frac{h^2(h+1)}{h-1}}\)
ここで，\(\displaystyle f(h)=\frac{h^2(h+1)}{h-1}\)と置くと，
\(\displaystyle f'(h)=\frac{2h(h^2-h-1)}{(h-1)^2}\)
増減表は次のようになる．
\begin{array}{c|c|c|c}
h &1 & \cdots & \frac{1+\sqrt{5}}{2} & \cdots \\ \hline
f'(h)& & - & 0 & + \\ \hline
f(h) &+\infty&\searrow& \frac{11+5\sqrt{5}}{2}&\nearrow\\ \hline
\end{array}
よって，三角形\(ABC\)の辺の長さの最小値は\(\displaystyle 2\sqrt{\frac{11+5\sqrt{5}}{2}}\)
参考入試問題（2002 一橋大）
頂点が\(z\)軸上にあり，底面が\(xy\)平面上の原点を中心とする円である円錐がある．この円錐の側面が，原点を中心とする半径1の球に接している．
(1)円錐の表面積の最小値を求めよ．
(2)円錐の体積の最小値を求めよ．
解答
(1)
高さを\(h\)とすると，底面の円の半径は\(\displaystyle \frac{h}{\sqrt{h^2-1}}\)，円錐の母線の長さは\(\displaystyle \frac{h^2}{\sqrt{h^2-1}}\)
よって，円錐の表面積を\(S\)とすると，
\(\displaystyle S=\pi\times \left(\frac{h}{\sqrt{h^2-1}}\right)^2\)\(\displaystyle +\pi\times \left(\frac{h^2}{\sqrt{h^2-1}}\right)^2\times \frac{\frac{h}{\sqrt{h^2-1}}}{\frac{h^2}{\sqrt{h^2-1}}}\)\(=\displaystyle \pi\times \frac{h^2}{h^2-1}(1+h)\)\(=\displaystyle \pi\times \frac{h^2}{h-1}\)\(=\displaystyle \pi\times\left(h-1+\frac{1}{h-1}+2\right)\)
ここで，\(h>1\)なので，相加相乗平均より，
\(\displaystyle S\geqq \pi\left(2\sqrt{(h-1)\cdot\frac{1}{h-1}}+2\right)\)\(=4\pi\)（等号成立は\(h=2\)）
よって，円錐の表面積の最小値は\(4\pi\)
(2)
円錐の体積を\(V\)とすると，
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi\times\left(\frac{h}{\sqrt{h^2-1}}\right)^2\times h\)\(=\displaystyle \frac{1}{3}\pi\times \frac{h^3}{h^2-1}\)
ここで，\(\displaystyle \frac{1}{h}=t\)（\(0<t<1\)）と置くと，
\(\displaystyle V=\frac{1}{3}\pi\times \frac{1}{t-t^3}\)
また，\(f(t)=t-t^3\)と置くと，増減表は次のようになる．
\begin{array}{c|c|c|c|c}
t &0& \cdots & \frac{1}{\sqrt{3}} & \cdots & 1 \\ \hline
f'(t)& & + & 0 & - & \\ \hline
f(t) &0&\nearrow& \frac{2\sqrt{3}}{9}&\searrow& 0 \\ \hline
\end{array}
\(f(t)\)が最大の時，\(V\)が最小となる．
よって，円錐の体積\(V\)の最小値は，\(\displaystyle \frac{1}{\frac{2\sqrt{3}}{9}}\times\frac{1}{3}\pi\)\(=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\pi\)
その時\(h=\sqrt{3}\)