中級者
数学Ⅲ：微分法
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ヒント：折り曲げる前も図に描くこと．折り曲げ前後で同じ角度になることを利用しよう．
問題
中心を\(O\)とした線分\(AB\)を直径とする半円がある．点\(A\)と周上の点\(C\)を結ぶ直線で折り曲げるときに，折り曲げた部分と半円とが重なる面積が最大となるとき，\(\cos \angle OAC\)を求めよ．（オリジナル）
解答
\(\angle OAC=x\)とする．
(1) \(\displaystyle 0\leqq x<\frac{\pi}{4}\)の時，
折り曲げた部分を戻した図は次のようになる．
よって，図の灰色部分の面積を求めればよい．
半径を\(r\)，面積を\(S(x)\)と置くと，
三角形OACの面積\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin \angle AOC\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin(\pi-2x)\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin 2x\)
扇形OBCの面積\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\angle BOC\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2 2x\)
三角形OADの面積\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin \angle AOD\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin(\pi-4x)\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin 4x\)
扇形OBDの面積\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\angle BOD\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2 4x\)
よって，\(S(x)\)=三角形OADの面積+扇形OBDの面積-(三角形OACの面積+扇形OBCの面積)\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2(\sin 4x-\sin 2x+2x)\)
\(S'(x)\)\(=\displaystyle r^2(2\cos 4x-\cos 2x+1)\)\(=\displaystyle r^2(4\cos^2 2x-\cos 2x-1)\)
ここで，\(S'(a)=0\)となる\(\cos 2a\)は，\(\displaystyle 0\leqq x<\frac{\pi}{4}\)より，\(\displaystyle \cos 2a=\frac{1+ \sqrt{17}}{8}\)
一方で，\(0\leqq x<a\)の時，\(S'(x)>0\)，\(\displaystyle a\leqq x<\frac{\pi}{4}\)の時，\(S'(x)<0\)なので，\(x=a\)で極大値となる．
(2) \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\)の時，
折り曲げた部分を戻した図は次のようになる．
よって，図の灰色部分の面積を求めればよい．
三角形OACの面積\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin \angle AOC\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin(\pi-2x)\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\sin 2x\)
扇形OACの面積\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2\angle AOC\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2(\pi-2x)\)
よって，\(S(x)\)=扇形OACの面積-三角形OACの面積\(=\displaystyle \frac{1}{2}r^2(\pi-2x)-\sin 2x\)
\(S'(x)\))\(=\displaystyle -r^2(1+\cos 2x)\)\(=\displaystyle -2r^2\cos^2 x<0\)
よって，\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\leqq x \leqq \frac{\pi}{2}\)の時，\(S(x)\)は常に減少関数である．
以上より，\(\displaystyle \cos 2a=\frac{1+ \sqrt{17}}{8}\)