中級者
数学Ⅱ：微分積分
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ヒント：接線問題の時，接線の式を必ず次のように定義したほうがよい．接点を\((\alpha,\beta)\)，接点の傾き\(f'(\alpha)\)とすると，接線を\(y=f'(x-\alpha)+\beta\)とおくこと．面積を求めるときは，グラフ的に上から下を引いて積分すること．後は計算を間違えないように，計算問題をたくさん解こう．
問題
放物線\(y=x^{2}\)と2本の接線が\(x=a\),\(x=b\) \((a<b)\)で接している．放物線と接線で囲まれる面積Aを求めよ．（有名問題）
解説
まず，接線を求める．\(y\)の傾きは\((x^{2})^{\prime}=2x\)
よって，それぞれの接線は\(y=2a(x-a)+a^{2}=2ax-a^{2}\)，\(y=2b(x-b)+b^{2}=2bx-b^{2}\)
次に接線同士の交点について求める．\(2ax-a^{2}=2bx-b^{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(2(a-b)x=(a+b)(a-b)\)
\(a\neq b\)より，\(x=\displaystyle \frac{a+b}{2}\), \(y=\displaystyle 2a\times\frac{a+b}{2}-a^{2}=ab\)
よって交点は\(\left(\displaystyle \frac{a+b}{2},ab\right)\)
以上より，
\(A=\displaystyle \int_{a}^{\frac{a+b}{2}}\{x^{2}-(2ax-a^{2})\}dx+\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}\{x^{2}-(2bx-b^{2})\}dx\) \(=\displaystyle \int_{a}^{\frac{a+b}{2}}(x-a)^{2}dx+\int_{\frac{a+b}{2}}^{b}(x-b)^{2}dx\) \(=\displaystyle \left|\frac{1}{3}(x-a)^{3}\right|_{a}^{\frac{a+b}{2}}+\left|\frac{1}{3}(x-b)^{3}\right|_{\frac{a+b}{2}}^{b}\) \(=\displaystyle \frac{2}{3}\left(\frac{-a+b}{2}\right)^{3}=\frac{1}{12}(b-a)^{3}\)
参考入試問題
放物線\(y=x^{2}\)上の2点\(A(a,a^{2})\), \(B(b,b^{2})\) \((a<b)\)における接線の交点を\(S\)とする。
（１）\(S\)の座標を求めよ。
（２）2つの線分\(AS,SB\)および放物線\(y=x^{2}\)で囲まれる図形の面積は\(\displaystyle \frac{1}{12}(b-a)^{3}\)であることを示せ。
（３）\(y=x^{2}\)上の点\(C(c,c^{2})\) \((a<c<b)\)における接線が線分\(AS\)と交わる交点を\(P\),線分\(SB\)と交わる点を\(Q\)とする。\(C\)が\(a<c<b\)である範囲を動くとき3つの線分\(AP,PQ,QB\)と放物線\(y=x^{2}\)で囲まれる図形の面積の最小値を求めよ。（広島大）
考え方（１）（２）は上記で求めた方法と同じである．（３）は計算力さえあればできる問題。
（３）（2）を利用すると、求める面積は
\(\displaystyle \frac{1}{12}(c-a)^{3}+\frac{1}{12}(b-c)^{3}\)
式変形すると，\(\displaystyle \frac{1}{12}(b-a)\{3c^{2}-3(a+b)c+(a^{2}+ab+b^{2})\}\)\(=\displaystyle \frac{1}{4}(b-a)\left(c-\frac{a+b}{2}\right)^{2}+\frac{(b-a)^{3}}{48}\)
∴\(c=\displaystyle \frac{a+b}{2}\)のとき最小値は\(\displaystyle \frac{(b-a)^{3}}{48}\)
※積分はほとんど覚えていればできる問題が多々ある。計算力があればできる問題である。計算力を鍛えよう。特に数Ⅲの範囲ではほとんどは計算さえできればいい問題である。また文系の人も次の公式を覚えておくと便利だ。
\(\displaystyle \int(ax+b)^{n}dx\)\(=\displaystyle \frac{1}{(n+1)a}(ax+b)^{n+1}+C(a\neq 0)\)
\(\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx\)\(=\displaystyle -\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\)
\(\displaystyle \int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-b)dx\)\(=\displaystyle \int_{a}^{b}(x-a)^{2}(x-a+a-b)dx\)\(=\displaystyle \int_{a}^{b}(x-a)^{3}dx+\int_{a}^{b}(a-b)(x-a)^{2}dx\)\(=\displaystyle \left|\frac{1}{4}(x-a)^{4}\right|_{a}^{b}+\left|\frac{1}{3}(a-b)(x-a)^{3}\right|_{a}^{b}\)\(=\displaystyle \frac{1}{4}(b-a)^{4}+\frac{1}{3}(a-b)(b-a)^{3}\)\(=\displaystyle -\frac{1}{12}(b-a)^{4}\)