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ヒント：3次方程式の解と係数の関係を使い，3つ実数解を持つ条件を考えよう．3次方程式の実数解を3つ持つ場合，パターンは①3つの異なる解を持つ．②2つの異なる解を持つ．③すべて同じ解を持つ．が存在するため，よく考えて場合分けする必要がある．
問題
\(a^{3}+b^{3}+c^{3}=81\cdots\)①
\((a+b+c)^{3}=729\cdots\)②
\(ab+bc+ca=x\cdots\)③
\(a,b,c\)が実数の解を持つときの\(x\)の範囲は？
解説
\(a^{3}+b^{3}+c^{3}\)\(=(a+b+c)\{(a+b+c)^{2}-3(ab+bc+ca)\}+3abc\cdots\)④は恒等的に成り立つ．また②より\(a,b,c\)は実数なので，\(a+b+c=9\cdots\)⑤
①③④⑤より，\(9(9^{2}-3x)+3abc=81\) \(\Leftrightarrow\) \(abc=9x-216\)
ここで，解と係数の関係より，\(a,b,c\)を解に持つ式は
\(t^{3}-(a+b+c)t^{2}+(ab+bc+ca)t-abc=0\)と表せる．
∴\(t^{3}-9t^{2}+xt-(9x-216)=0\)
ここで，\(f(t)=t^{3}-9t^{2}+xt-(9x-216)\cdots\)⑥とおく．
\(f(t)=0\)が3つの解をもつには，（重解でもよい）
極大値≧0，極小値≦0ならよい．
(i)ここで，三重解以外の解をもつとき\(f'(t)=3t^{2}-18t+x\)で\(f'(t)=0\)のとき解を持つには
\(D'=81-3x>0\) \(\Leftrightarrow\) \(x<27\)
\(3t^{2}-18t+x=0\cdots\)⑦
極大の時の\(t\)の値は⑦より，\(t=\displaystyle \frac{9-\sqrt{81-3x}}{3}\cdots\)⑧
極小の時の\(t\)の値は⑦より\(t=\displaystyle \frac{9+\sqrt{81-3x}}{3}\cdots\)⑨
また⑦を使って，⑥の\(t\)を次数下げすると，
\(f(t)=-\displaystyle \frac{2}{3}(27t-xt+12x-324)\)\(=\displaystyle \frac{2}{3}(27-x)(-t+12)\cdots\)⑩
ここで極大値について，⑩に⑧を代入して，\(\displaystyle \frac{2}{9}(27-x)(\sqrt{3(27-x)}+27)\geqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{3(27-x)}+27\geqq 0\) \((∵x<27)\)
また，極小値について，⑩に⑨を代入して，\(\displaystyle \frac{2}{9}(27-x)(-\sqrt{3(27-x)}+27)\leqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(-\sqrt{3(27-x)}+27\leqq 0\) \((∵x<27)\)
よって，\(\sqrt{3(27-x)}+27\geqq 0\)かつ\(-\sqrt{3(27-x)}+27\leqq 0\)が成り立つ\(x\)の値は\(x\leqq-216\)
(ii)また三重解をもつとき
\(f'(t)=0\)が二重解をもち，その解のとき\(f(t)=0\)となることが条件．
ここで，\(f'(t)=0\)が二重解をもつ条件は，\(D'=0\)
よって，\(D'=81-3x=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x=27\)
（このとき確かに\(f(t)=(t-3)^{3}\)となる．）
以上より答えは\(x\leqq-216,x=27\)