上級者
数学Ⅰ：方程式と不等式
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ヒント：常に成り立つということは，どのような\(x,y\)に対しても成立するということなので，適当に値を入れて定数\(a\)を確かめる必要があります．式の形や文字の入れ替えが可能などから判断して，\(ax=by\)などを代入してみましょう．（もちろん知ってる有名な不等式からひらめきで求めることもできますが，なかなか難しい場合もあります．）
問題
\(x\geqq 0\)，\(y\geqq 0\)とする時，\((x+y)^n\leqq a(x^{n}+y^{n})\)が常に成り立つような定数\(a\)の最小値は？（オリジナル）
解答
\(x,y\)は互いに入れ替えても成り立つことから，\(x=y\)の時が\(a\)の最小値の可能性が考えられる，
そこで，与式に\(x=y\)を代入すると，\((2x)^n \leqq a(2x^n)\) \(\Leftrightarrow\) \(a \geqq 2^{n-1}\) \((x\geqq 0)\)となるので，\(a=2^{n-1}\)が最小値の可能性が考えられる．（必要条件）
次に十分条件として，\((x+y)^n\leqq 2^{n-1}(x^{n}+y^{n})\)が成り立つことを数学的帰納法により示す．
\(n=1\)の時，
左辺＝\(x+y\)，右辺＝\(x+y\)なので，成立する．
ここで，\(n=k\)の時，\((x+y)^k\leqq 2^{k-1}(x^{k}+y^{k})\)が成り立つと仮定すると，
\((x+y)^{k+1}\)\(=(x+y)^{k}(x+y)\)\(\leqq 2^{k-1}(x^{k}+y^{k})(x+y)\)\(=2^{k-1}(x^{k+1}+y^{k+1})+2^{k-1}(x^{k}y+xy^{k})\)\(=2^{k}(x^{k+1}+y^{k+1})-2^{k-1}(x^{k+1}+y^{k+1})+2^{k-1}(x^{k}y+xy^{k})\)\(=2^{k}(x^{k+1}+y^{k+1})-2^{k-1}(x-y)(x^{k}-y^{k})\)
ここで，常に\((x-y)(x^{k}-y^{k})\geqq 0\)が成立する．（等号成立は\(x=y\)）
よって，\(2^{k}(x^{k+1}+y^{k+1})-2^{k-1}(x-y)(x^{k}-y^{k})\)\(\leqq 2^{k}(x^{k+1}+y^{k+1})\)
\((x+y)^{k+1}\)\(\leqq 2^{k}(x^{k+1}+y^{k+1})\)の等号成立は\(x=y\)
以上より\(n=k+1\)の時も成立するので，数学的帰納法より\((x+y)^n\leqq 2^{n-1}(x^{n}+y^{n})\)が成立する（十分条件）
よって，\(a=2^{n-1}\)が最小値となる．
別解
・ムーアヘッド(Muirhead)の不等式を使う．
左辺=\((x+y)^n\)\(=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_nC_{k}x^{n-k}y^{k}\)
ここで，ムーアヘッドの不等式より，
\(x^{n-k}y^{k}+x^{k}y^{n-k}\leqq x^n+y^n\)（等号成立は\(x=y\)）
よって，\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_nC_{k}x^{n-k}y^{k}\)\(=\displaystyle {}_nC_{0}x^n+{}_nC_{1}x^{n-1}y+\cdots+{}_nC_{n-1}xy^{n-1}+{}_nC_{n}y^n\)
\({}_nC_{k}={}_nC_{n-k}\)が成り立つ．よって，\({}_nC_{k}x^{n-k}y^{k}+{}_nC_{n-k}x^{k}y^{n-k}\)\(={}_nC_{k}(x^{n-k}y^{k}+x^{k}y^{n-k})\)\(\leqq {}_nC_{k}(x^n+y^n)\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}({}_nC_{n-k}+{}_nC_{k})(x^n+y^n)\)（※）
よって，\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_nC_{k}x^{n-k}y^{k}\)\(\leqq \displaystyle \frac{1}{2}(x^n+y^n)\sum_{k=0}^{n}{}_nC_{k}\)
ここで，\((1+1)^n=\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{}_nC_{k}\)なので，
最終的に，\((x+y)^n\)\(\leqq \displaystyle 2^{n-1}(x^n+y^n)\)が成立する．等号成立は\(x=y\)
よって，\(a\)の最小値は\(a=2^{n-1}\)
※\(n\)が偶数，\(\displaystyle k=\frac{n}{2}\)の時は，
\(\displaystyle {}_nC_{\frac{n}{2}}x^{\frac{n}{2}}y^{\frac{n}{2}}\)\(=\displaystyle \frac{1}{2}{}_nC_{\frac{n}{2}}(x^{\frac{n}{2}}y^{\frac{n}{2}}+x^{\frac{n}{2}}y^{\frac{n}{2}})\)\(\displaystyle \leqq \frac{1}{2}{}_nC_{\frac{n}{2}}(x^n+y^n)\)で，式変形が多少異なるので，厳密な議論をしたい場合は，場合分けで記述する必要がある．
※別解でTwitterフォロワーのプラトーさんからイェンゼンの不等式（Jensen's inequality）を使うと瞬殺だと教えてもらいました！
イェンゼンの不等式とは，
\(f(x)\)が凸関数の時，\(p_{i}\)を\(p_i \geqq 0\)，\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}p_{i}=1\)を満たす実数\((i=1,\cdots,n)\)とすると，実数\(x_{i}\)に対して，
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})\geqq f(\sum_{i=1}^{n}p_{i}x_{i})\)
が成立する不等式のことである．
ここで，\(f(x)=x^n\)は\(x\geqq 0\)において，凸関数となる．
よってイェンゼンの不等式において，\(n=2\)，\(\displaystyle p_1=\frac{1}{2}\)，\(\displaystyle p_2=\frac{1}{2}\)と置けば，\(\displaystyle \frac{f(x)+f(y)}{2} \geqq f\left(\frac{x+y}{2}\right)\)が成立する．
よって，\(\displaystyle \frac{x^n+y^n}{2}\geqq \left(\frac{x+y}{2}\right)^n\) \(\Leftrightarrow\) \((x+y)^n \leqq 2^{n-1}(x^n+y^n)\)なので，\(a=2^{n-1}\)が答えとなる．
参考入試問題
\(x\geqq 0\)，\(y\geqq 0\)，\(z\geqq 0\)ならば，不等式\((x+y+z)(xy+yz+zx) \geqq axyz\)が常に成り立つような定数\(a\)の最大値を求めよ．（横浜国立大学）
解答
\(x=y=z\)の時，不等式は，\(3x\cdot3x^2 \geqq ax^3\) \(\Leftrightarrow\) \(a \leqq 9\) \((x\geqq 0)\)
よって，\(a=9\)が最小値の可能性が考えられる．（必要条件）
次に十分条件より，\((x+y+z)(xy+yz+zx)-9xyz\)\(=z(x-y)^2+x(y-z)^2+y(z-x)^2\)\(\geqq 0\)
よって，\((x+y+z)(xy+yz+zx) \geqq 9xyz\)が常に成立する．等号成立は\(x=y=z\)（十分条件）
別解
・相加相乗平均より
\((x+y+z)(xy+yz+zx)\)\(\geqq 3 (xyz)^{\frac{1}{3}}\cdot 3 (xy\cdot yz\cdot zx)^{\frac{1}{3}}\)\(=9xyz\)
等号成立は\(x=y=z>0\)で成立する．
・コーシー・シュワルツの不等式より，
\((\sqrt{x})^2+(\sqrt{y})^2+(\sqrt{z})^2)((\sqrt{xy})^2+(\sqrt{yz})^2+(\sqrt{zx})^2)\)\(\geqq (\sqrt{x}\cdot\sqrt{yz}+\sqrt{y}\cdot\sqrt{zx}+\sqrt{z}\cdot\sqrt{xy})^2\)
よって，\((x+y+z)(xy+yz+zx)\)\(\geqq (3\sqrt{xyz})^2\)\(=9xyz\)
等号成立は，\(\sqrt{x}:\sqrt{y}:\sqrt{z}=\sqrt{yz}:\sqrt{zx}:\sqrt{xy}\)で，\(x=y=z\)である．