MATH

ヒント：最大値，最小値を求める＝範囲を求めるということである．　範囲を求める方法として，①不等式を作る．②関数をグラフ（図形と方程式）で表してみる．③関数の増減表を作る．④最大値or最小値なら相加相乗関係．（⑤ベクトルで解く．）などが存在する．　なお，解と係数の関係を使う時，判別式を使って範囲を確保する必要がある．これは盲点になることがあるので注意．

問題

\(x+y+z=9\)のとき，\(xy+yz+zx\)の最大値を求めよ．（オリジナル）

解答

\(xy+yz+zx\)\(=xy+z(x+y)\)

ここで，\(z=9-x-y\)を代入して式変形すると，

\(xy+yz+zx\)\(=-\displaystyle \left(y-\frac{9-x}{2}\right)^{2}-\frac{3}{4}(x-3)^{2}+27\)

ここで，\(\displaystyle \left(y-\frac{9-x}{2}\right)^{2} \leqq 0\)なので，\(\displaystyle y-\frac{9-x}{2}=0\)の時，最大値は0

\(\displaystyle -\frac{3}{4}(x-3)^{2} \leqq 0\)なので，\(x-3=0\)の時，最大値は0

よって，\(xy+yz+zx \leqq 27\)で，最大値は27．等号成立は，\(x=3\), \(\displaystyle y-\frac{9-x}{2}=0\), \(x+y+z=9\)．つまり，\(x=y=z=3\)

同じような感じで他の方法で解いてみた．

\(x^{2}+y^{2}+z^{2}\)\(=x^{2}+y^{2}+(9-x-y)^{2}\)\(=\displaystyle 2\left(x+ \frac{y-9}{2}\right)^{2}+\frac{3}{2}(y-3)^{2}+27\)

ここで，\(\displaystyle \frac{3}{2}(y-3)^{2} \geqq 0\)で\(y=3\)で最小値0

また，\(\displaystyle 2\left(x+\frac{y-9}{2}\right)^{2} \geqq 0\)で\(\displaystyle x+ \frac{y-9}{2}=0\)で最小値0

よって，\(x=y=z=3\)で\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=27\)が最小値

また\((x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)=x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqq 27\)

\(x+y+z=9\)を代入して整理すると，\(xy+yz+zx \leqq 27\)

よって\(xy+yz+zx\)の最大値は27で，\(x=y=z=3\)の時，成立する．