中級者
数学Ⅰ：方程式と不等式
-
いろいろな解き方を考えてみよう．
問題
\(\displaystyle y=x+6+\frac{4}{x}\)の\(y\)の範囲を求めよ．（オリジナル）
解答
（１）\(x\)の二次関数として，\(x\)が実数解を持つ条件から，\(y\)の範囲を求める．与式を変形して，\(x^{2}+(6-y)x+4=0\)とする．
ここで，この二次方程式が解を持つには，判別式\(D=(6-y)^{2}-4\times 4 \geqq 0\)
よって，\(y \leqq 2,~ y\geqq 10\)
（２）相加相乗平均を使う．
\(x>0\)の時，\(\displaystyle y=x+6+\frac{4}{x}\)\(\displaystyle \geqq 6+2\sqrt{x\times \frac{4}{x}}=10\)
等号は\(\displaystyle x=\frac{4}{x}\)，つまり\(x=2\)の時に成立する．
また\(x<0\)の時，\(x=-a\)と置くと，\(a>0\)であり，与式は\(\displaystyle y=x+6+\frac{4}{x}\)\(=\displaystyle 6-\left(a+\frac{4}{a}\right)\)となる．
\(\displaystyle a+\frac{4}{a}\) \(\displaystyle \geqq 2\sqrt{a\times \frac{4}{a}}=4\)
等号は\(a=2\)，つまり\(x=-2\)の時に成立する．
\(=\displaystyle 6-\left(a+\frac{4}{a}\right) \leqq 6-4=2\)
よって，\(y \leqq 2,~ y\geqq 10\)
（３）微分で解く．
\(y\)を\(x\)で微分すると，
\(\displaystyle y'=1-\frac{4}{x^{2}}=\frac{(x+2)(x-2)}{x^{2}}\)
増減表は次のように書ける．
\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -2 & \cdots &0 &\cdots & 2 & \cdots & \\ \hline y'& + & 0 & - & & - & 0 & + & \\ \hline y &\nearrow& 2 &\searrow & &\searrow&10 &\nearrow& \\ \hline \end{array}
よって，\(y \leqq 2,~ y\geqq 10\)