中級者
範囲
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複数のやり方がある．順を追ってみてみよう．
問題
\(a+b+c=1\)，\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\)が成り立つときの\(c\)の範囲を求めよ．
解答
①とりあえず文字を消す．
\(a=1−b−c\)を\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\)に代入して整理すると
\(b^{2}+c^{2}+bc-b-c=0\)
ここで，この式を\(b\)の二次方程式とみて\(b\)は実数解をもたなくてはならないと考える．
すると，\(b^{2}+(c-1)b+c^{2}-c=0\)で判別式\(D≧0\)から
\(D=(c-1)^{2}-4c(c-1)=-(c-1)(3c+1)≧0\)
\(-\displaystyle \frac{1}{3}\leqq c\leqq 1\)
ちなみに\(a,b\)についても対称なので同じ答えとなる．
②対称式の利用
\(a+b=1−c\)
\(ab=c^{2}-c\)
よって\(a,b\)を解に持つ二次方程式は
\(t^{2}-(1-c)t+(c^{2}-c)=0\)とおける．
このあとは①と同じ．
③三次の解と係数の関係
\(a+b+c=1\)
\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\) ⇔ \((a+b+c)^{2}-2(ab+bc+ca)=1\) ⇔ \(ab+bc+ca=0\)
\(abc=k\)とおく．
よって\(a,b,c\)を解に持つ三次方程式は
\(t^{3}-t^{2}-k=0\)となる．
ここで，\(y=f(t)=t^{3}-t^{2}\)，\(y=k\)として2つか3つの交点をもつときが条件に当てはまる．
よってグラフを描けば，\(-\displaystyle \frac{1}{3}\leqq t\leqq 1\)となるので，\(-\displaystyle \frac{1}{3}\leqq c\leqq 1\)
（\(a<b<c\)の条件があれば，\(-\displaystyle \frac{1}{3}\leqq a\leqq 0\)，\(\displaystyle 0\leqq b\leqq\frac{2}{3}\)，\(\displaystyle \frac{2}{3}\leqq c\leqq 1\)となる．）