上級者
数学Ⅱ：指数対数
問題
\(e^{2}>7\)を示せ．（オリジナル）
解答
まず，\(x≧0\)のとき，\(e^{x}\displaystyle \geqq 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\)が成り立つことを示す．
ここで，\(f(x)=e^{x}-\left(1+\displaystyle \frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\right)\)
\(f^{(n)}(x)=e^{x}-1\geqq 0\)より，\(f^{(n-1)}(x)\)は増加関数．
\(f^{(n-1)}(x)\geqq f^{(n-1)}(0)=e^{0}-(1+0)=0\)より，\(f^{(n-2)}(x)\)は増加関数．
これを繰り返していけば，
\(f(x)\geqq 0\)となり，\(e^{x}\displaystyle \geqq 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\)が成り立つ．ここで\(x=2\)を代入して，
\(e^{2}>1+\displaystyle \frac{2}{1!}+\frac{2^{2}}{2!}+\frac{2^{3}}{3!}+\frac{2^{4}}{4!}+\frac{2^{5}}{5!}\)\(=\displaystyle 5+\frac{91}{45}\)\(>\displaystyle 5+\frac{90}{45}\)\(=7\)