中級者
数学Ⅱ：指数対数
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ヒント：基本に忠実に式変形していきましょう．また色々な条件がある（真数は0以上，底の値によって\(\log\を外す時の大小関係が変わるなど）ので，注意しましょう．
問題
\(\log_{2}(-3x+1)+\log_{\frac{1}{4}}x \leqq 1\)の\(x\)の範囲を求めよ．（オリジナル）
解説
真数が正であることから，
\(-3x+1>0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle x<\frac{1}{3}\)
\(x>0\)
また，底を合わせる．
\(\displaystyle \log_{2}(-3x+1)\)\(\displaystyle =\frac{\log_{4}(-3x+1)}{\log_{4}2}\)\(\displaystyle =2\log_{4}(-3x+1)\)
\(\displaystyle \log_{\frac{1}{4}}x\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{\log_{4}x}{\log_{4}\frac{1}{4}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle -\log_{4}x\)
\(\log_{2}(-3x+1)+\log_{\frac{1}{4}}x \leqq 1\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_{4}(-3x+1)^{2}-\log_{4}x \leqq \log_{4}4\)
\(\log\)を外して変形すると，\(9x^{2}-6x+1 \leqq 4x\)（底が1以上なので，不等号は変わらず）
さらに式変形していくと，\((9x-1)(x-1)\leqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{1}{9} \leqq x \leqq 1\)
よって\(x\)の範囲は，\(\displaystyle \frac{1}{9} \leqq x < \frac{1}{3}\)
参考入試問題
\(\log_{2}(5-2x)+2\log_{\frac{1}{2}}(x+2) \leqq 0\)を満たす\(x\)の範囲を求めよ．（2015 慶應義塾大 医）
解説
真数が正であることから，
\(5-2x>0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle x<\frac{5}{2}\)
\(x+2>0\) \(\Leftrightarrow\) \(x>-2\)
また，底を合わせる．
\(\displaystyle 2\log_{\frac{1}{2}}(x+2)\)\(\displaystyle =2\frac{\log_{2}(x+2)}{\log_{2}\frac{1}{2}}\)\(\displaystyle =-\log_{2}(x+2)^{2}\)なので，
\(\log_{2}(5-2x)+2\log_{\frac{1}{2}}(x+2) \leqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \log_{2}\frac{5-2x}{(x+2)^{2}} \leqq \log_{2}1\)
\(\log\)を外して変形すると，\(5-2x \leqq (x+2)^{2}\)（底が1以上なので，不等号は変わらず）
さらに式変形していくと，
\(x^{2}+6x-1 \geqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(x \leqq -3-\sqrt{10},~x\geqq \sqrt{10}-3\)
よって\(x\)の範囲は，\(\displaystyle \sqrt{10}-3\leqq x <\frac{5}{2}\)