上級者
数Ⅱ：図形と方程式
-
ヒント：\(x,y\)の対称式の時は，\(x+y,xy\)の形で式をまとめることができる．この時，文字を置き換えする時は，解と係数の関係を考えて，判別式から範囲を求める必要がある．
問題
実数\(x,y\)が\(4x^2y^2+2xy+x^2+y^2\leqq 3\)を満たしながら変化するとする．
\(m>0\)の時，\(xy-m(x+y)\)の最大値を\(m\)を用いて表せ．
解答
\(s=x+y\)，\(t=xy\)と置くと，
実数\(x,y\)を解に持つ2次方程式は次のとおり示させる．
\((u-x)(u-y)\)\(=u^2-su+t=0\)
この方程式が実数を持つため，判別式\(D=s^2-4t \geqq 0\cdots\)①
次に\(4x^2 y^2+2xy+x^2+y^2\leqq 3\)を式変形すると，
\(s^2+4t^2 \leqq 3\cdots\)②
①，②の範囲をグラフに描くと次の通り．
\(k=xy-m(x+y)=-ms+t\)と置き，式変形すると，
\(t=ms+k\cdots\)③
最大値は楕円\(s^2+4t^2 \leqq 3\)の接線となるか，\((s,t)\)\(=\displaystyle \left(-\sqrt{2},\frac{1}{2}\right)\)を通る直線である．
点\((s,t)\)の楕円の傾きは\(\displaystyle -\frac{s}{4t}\)となる．ここで，\((s,t)\)\(=\displaystyle \left(-\sqrt{2},\frac{1}{2}\right)\)における接線は\(\displaystyle t=\frac{\sqrt{2}}{2}(s+\sqrt{2})+\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle t=\frac{\sqrt{2}}{2}s+\frac{3}{2}\)
よって，\(\displaystyle m<\frac{\sqrt{2}}{2}\)の時，③が\((s,t)\)\(=\displaystyle \left(-\sqrt{2},\frac{1}{2}\right)\)を通る場合が最大値となる．よって，\(\displaystyle k=\sqrt{2}m+\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle m\geqq \frac{\sqrt{2}}{2}\)の時，楕円\(s^2+4t^2 \leqq 3\)の接線が最大値となる．
よって，\(\displaystyle m=-\frac{s}{4t}\)で，③が\((s,t)\)を通る場合で，\(s^2+4t^2=3\)となる．
これより計算すると，\(\displaystyle k=\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1+4m^2}\)
よって，答えは
\(\displaystyle m\geqq \frac{\sqrt{2}}{2}\)の時，最大値\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1+4m^2}\)
\(\displaystyle m<\frac{\sqrt{2}}{2}\)の時，最大値\(\displaystyle \sqrt{2}m+\frac{1}{2}\)
参考入試問題
実数\(x,y\)が\(x^2+y^2 \leqq 1\)を満たしながら変化するとする．
(1) \(s=x+y\)，\(t=xy\)とするとき，点\((s,t)\)の動く範囲を\(st\)平面上に図示せよ．
(2) 負でない定数\(m \geqq 0\)をとるとき，\(xy+m(x+y)\)の最大値，最小値を\(m\)を用いて表せ．（2005 東工大）
解答
(1)
実数\(x,y\)を解に持つ2次方程式は次のとおり示させる．
\((u-x)(u-y)\)\(=u^2-su+t=0\)
この方程式が実数を持つため，判別式\(D=s^2-4t \geqq 0\cdots\)①
次に\(x^2+y^2 \leqq 1\)を式変形すると，
\(s^2-2t \leqq 1\cdots\)②
①，②の範囲をグラフに描くと次の通り．
(2)
\(k=xy+m(x+y)=ms+t\)と置き，式変形すると，
\(t=-ms+k\cdots\)③
(1)で求めた範囲（①②）と③の交点を考えると，
\(m \geqq 0\)なので，最大値は\((s,t)\)\(=\displaystyle \left(\sqrt{2},\frac{1}{2}\right)\)を通る場合である．
よって，③に代入して，\(\displaystyle k=\sqrt{2}m+\frac{1}{2}\)
最小値は放物線\(\displaystyle t=\frac{s^2}{2}-\frac{1}{2}\)の接線となるか，\((s,t)\)\(=\displaystyle \left(-\sqrt{2},\frac{1}{2}\right)\)である．
ここで，\((s,t)\)\(=\displaystyle \left(-\sqrt{2},\frac{1}{2}\right)\)における接線は\(\displaystyle t=-\sqrt{2}(s+\sqrt{2})+\frac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle t=-\sqrt{2}s-\frac{3}{2}\)
これより，\(m\geqq \sqrt{2}\)の時は，\((s,t)\)\(=\displaystyle \left(-\sqrt{2},\frac{1}{2}\right)\)を通る場合が最小値となる．
③に代入して，\(\displaystyle k=\frac{1}{2}+m(-\sqrt{2})\)\(\displaystyle =-\sqrt{2}m+\frac{1}{2}\)
一方で，\(m< \sqrt{2}\)の時は，放物線\(\displaystyle t=\frac{s^2}{2}-\frac{1}{2}\)の接線が最小値となる．
よって，点\((s,t)\)\(=\displaystyle \left(s,\frac{s^2}{2}-\frac{1}{2}\right)\)を傾き\(m=s\)の接線を通るので，③に点の値と，傾き\(m=s\)を代入すると，\(\displaystyle k=-\frac{m^2}{2}-\frac{1}{2}\)
以上まとめると，
最大値は\(\displaystyle \sqrt{2}m+\frac{1}{2}\)
最小値は，\(m\geqq \sqrt{2}\)の時は，\(\displaystyle -\sqrt{2}m+\frac{1}{2}\)
\(m< \sqrt{2}\)の時は，\(\displaystyle -\frac{m^2}{2}-\frac{1}{2}\)