中級者
数Ⅱ：図形と方程式
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ヒント：式をグラフとして正確に描くことができれば，特に難しくなることはない（と思う）．ただし，場合分けが発生することがあるので注意しよう．
問題
解答
※図は\(a=2\)の場合，解の範囲は円の内部と\(y=-bx+a\)の直線よりも下の部分が重なる領域
図から，\(x+y=k\) \((k>0)\)が\(\displaystyle (x,y)=\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}}\right)\)を通るときが\(k\)の最大値となる．この条件を満たす\(b\)については，\(y=-bx+a\)が\(\displaystyle (x,y)=\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{a}{\sqrt{2}}\right)\)を通る場合，\(b=\sqrt{2}-1\)となるので，\(0<b<\sqrt{2}-1\)が条件となる．
一方，\(b\geqq \sqrt{2}-1\)の時は次のような図となる．
\(x^{2}+y^{2}=a^{2}\)，\(y=-bx+a\)の\((x,y)=(0,a)\)ではない交点は\(\displaystyle (x,y)=\left(\frac{2ab}{b^{2}+1},\frac{1-b^{2}}{1+b^{2}}a\right)\)
この点を通る\(x+y=k\)が最大値となる．
よって，\(\displaystyle k=\frac{1+2b-b^2}{b^2+1}a\)
参考入試問題
\(a>0\)とし、\(x,y\)が4つの不等式\(x\geqq 0\)，\(y\geqq 0\)，\(2x+3y\leqq 12\)，\(ax+(4-\displaystyle \frac{3}{2}a)y\leqq 8\)
を同時に満たしているとする。このとき\(x+y\)の最大値\(f(a)\)を求めよ。（98東工大）
答え
解説は他のサイトに載っているので，確認してください．
\(\displaystyle 0<a\leqq \frac{4}{3}\)の時，\(f(a)=6\)
\(\displaystyle \frac{4}{3}<a\leqq \frac{8}{5}\)の時，\(\displaystyle f(a)=\frac{8}{a}\)
\(\displaystyle \frac{8}{5}<a\)の時，\(f(a)=5\)