上級者
図形問題
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ヒント：1．図形の問題は角度と長さが問題となってくるので，それをしっかり文字で置くようにする．それから図を書いておくと関係が一目でわかるので必ず書くこと．
2．それぞれの問題に応じて条件(関係)などを書きつくせ．(ここでは図形なので角度長さについて書きつくす)．そしてその条件のもとで問題を解く．
今回はかなり難しい計算問題になるので，頑張ろう．
問題
一辺の長さが1の正三角形\(ABC\)において，\(AB\)上に点\(D\)，\(AC\)上に点\(E\)を取り，\(DE\)で折り曲げる．三角形の重なった面積を\(S\)とする．\(AD=x\),\(AE=y\)とする時，面積を\(x,y\)で表せ．(オリジナル)
解答
図のように点\(A',P,Q\)を取る．\(A'Q=a\)，\(CQ=b\)と置く．
\(△BDP∽△A'QP∽△CQE\)より，\(BP:A'P:CE=BD:A'Q:CQ=PD:PQ:QE\)
これより，次の式が成り立つ．
\(\displaystyle A'P=\frac{A'Q}{CQ}CE\)\(=\displaystyle \frac{a}{b}(1-y)\cdots(1)\)
\(\displaystyle BP=\frac{BD}{A'Q}A'P\)\(=\displaystyle \frac{1-x}{a}A'P\cdots(2)\)
\(\displaystyle PD=\frac{BD}{A'Q}PQ\)\(=\displaystyle \frac{1-x}{a}PQ\cdots(3)\)
\(\displaystyle QE=\frac{CQ}{A'Q}PQ\)\(=\displaystyle \frac{b}{a}PQ\cdots(4)\)
また，\(PD+A'P=x\cdots(5)\)，\(QE+A'Q=QE+a=y\cdots(6)\)，\(BP+PQ+QC=BP+PQ+b=1\cdots(7)\)
面積\(\displaystyle S=\frac{1}{2}(AD\cdot AE-A'P \cdot A'Q)\sin \angle A\cdots(8)\)
\((1),(2)\)より，
\(\displaystyle BP=\frac{(1-x)(1-y)}{b}\cdots(2)'\)
\((1),(3),(5)\)より，
\(\displaystyle \frac{1-x}{a}PQ+\frac{a}{b}(1-y)=x\cdots(5)'\)
\((4),(6)\)より，
\(\displaystyle \frac{b}{a}PQ+a=y\cdots(6)'\)
\((5)',(6)'\)より，
\((y-a)(1-x)+a(1-y)=bx\cdots(5)''\)
\((2)',(6)',(7)\)より，
\((1-x)(1-y)+a(y-a)+b^2=b\cdots(7)'\)
\((5)'',(7)'\)より，\(b\)を消去すると，
\((2x-y)ya^2\)\(+((y+1)x-y)(x-2y)a\)\(-(1-x)(x^2(1-y)+y^2(1-x)-xy)=0\) \(\Leftrightarrow\)
\((a-(1-x))((2x-y)ya+(x^2(1-y)+y^2(1-x)-xy))=0\)
\(a=1-x\),\(\displaystyle \frac{xy-x^2(1-y)-y^2(1-x)}{(2x-y)y}\)
また面積\(S\)について，\((1),(8)\)より，
\(\displaystyle S=\frac{\sqrt{3}}{4}(xy-\frac{a^2(1-y)}{b})\cdots(8)'\)
①\(a=1-x\)の場合
\(x=0\)の時，三角形の重なる部分がないのに\(a=1\)となるため，明らかに不適．
②\(\displaystyle a=\frac{xy-x^2(1-y)-y^2(1-x)}{(2x-y)y}\)の場合
\((5)''\)に代入して整理すると，
\(\displaystyle b=\frac{x(y-1)(x-2y)}{(2x-y)y}\)
\(\displaystyle S=\frac{\sqrt{3}}{4}\frac{(x^2-xy+y^2)(3x^2y^2-2x^2y-2xy^2+x^2-xy+y^2)}{xy(x-2y)(2x-y)}\)
※参考に\(a>0\),\(b>0\),\(0<x<1\),\(0<y<1\)という条件をグラフにすると，\(x,y\)の範囲は次の通りとなる．
※\(x=y\)の時，\(\displaystyle S=\frac{\sqrt{3}}{4}(-3x^2+4x-1)\)\(\displaystyle =-\frac{3\sqrt{3}}{4}(x-\frac{2}{3})^2+\frac{\sqrt{3}}{12}\)となり，\(\displaystyle x=\frac{2}{3}\)で最大値\(\displaystyle S=\frac{\sqrt{3}}{12}\)となり，これは以下の京都大学で出た問題とほぼ同じとなる．
参考入試問題
面積1の\(△ABC\)において，辺\(AB\)上に1点\(P\)をとり\(P\)を通り辺\(BC\)に平行な直線と辺\(AC\)の交点を\(Q\)とする．さらに線分\(PQ\)の中点に関して\(A\)と対称な点を\(R\)とする．点\(P\)が辺\(AB\)上を動くとき\(△ABC\)と\(△PQR\)の共通部分の面積の最大値を求めよ．（京都大）
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