MATH

ヒント：図形の場合ではあるが，今回は全て数式で解ける問題である．ヘロンの公式を使う．

問題
三角形\(ABC\)において\(AB=c\)，\(BC=a\)，\(CA=b\)，面積を\(S\)，内接円の半径を\(r\)，外接円の半径を\(R\)とおく．
\(r=3\)，\(R=\displaystyle \frac{17}{2}\)，\(S=60\)のとき，\(a,b,c\)の値を求めよ．\((a<b<c)\)（オリジナル）


解説
\(S=\displaystyle \frac{abc}{4R}\)より\(abc=2040\)，\(\displaystyle \frac{(a+b+c)r}{2}=S\)より\(a+b+c=40\)
また，\(s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}\)としたとき，\(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)\(=\sqrt{s\{s^{3}-(a+b+c)s^{2}+(ab+bc+ca)s-abc\}}\)
よって，\(ab+bc+ca=511\)
ここで，\(a,b,c\)を解に持つ三次方程式は\(t^{3}-40t^{2}+511t-2040=0\)とおける．
\(t=8,15,17\)
∴\(a=8,b=15,c=17\)