上級者
数学Ⅱ：式の証明
問題
\(n\)を自然数とするとき，次の和を求めよ．
(A) \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k {}_{n}C_{k}\)
(B) \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{2} {}_{n}C_{k}\)
(C) \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^{3} {}_{n}C_{k}\)
参考入試問題
（１）\(n\)を自然数とする．次の等式が成り立つように定数\(a,b\)を定めよ．
\(\displaystyle \frac{n+1}{y(y+1)\cdots(y+n)(y+n+1)}\)\(=\displaystyle \frac{a}{y(y+1)\cdots(y+n)}\)+\(\displaystyle \frac{b}{(y+1)\cdots(y+n+1)}\)
（２）すべての自然数\(n\)について，次の等式が成り立つことを証明せよ．
\(\displaystyle \frac{n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}\)\(=\displaystyle \sum_{r=0}^{n} (-1)^{r}\frac{{}_{n}C_{r}}{x+r}\) （2006前期大阪大）
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