上級者
数学Ⅱ：式の証明
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ヒント：数学的帰納法を使ったり，うまく式変形したりして問題を解こう．
問題
\(a_{1}\geqq a_{2}\geqq\cdots\geqq a_{n}\)，\(b_{1}\geqq b_{2}\geqq\cdots\geqq b_{n}\)のとき，\(\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\)\(\displaystyle \geqq(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k})(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}b_{k})\)となることを示せ．(チェビシェフの和の不等式，1992東北大)
解答
\(n=1\)のとき，
右辺\(=a_{1}b_{1}\)
左辺\(=a_{1}b_{1}\)
よって成り立つ．
\(n=l\)のとき，
\(a_{1}\geqq a_{2}\geqq\cdots\geqq a_{l}\)，\(b_{1}\geqq b_{2}\geqq\cdots\geqq b_{l}\)で\(\displaystyle \frac{1}{l}\sum_{k=1}^{l}a_{k}b_{k}\geqq(\frac{1}{l}\sum_{k=1}^{l}a_{k})(\frac{1}{l}\sum_{k=1}^{l}b_{k})\)が成り立つとすると，
\((l+1)\displaystyle \sum_{k=1}^{l+1}a_{k}b_{k}-(\sum_{k=1}^{l+1}a_{k})(\sum_{k=1}^{l+1}b_{k})\)\(=l\displaystyle \sum_{k=1}^{l}a_{k}b_{k}-(\sum_{k=1}^{l}a_{k})(\sum_{k=1}^{l}b_{k})+la_{l+1}b_{l+1}+\sum_{k=1}^{l}a_{k}b_{k}-b_{l+1}\sum_{k=1}^{l}a_{k}-a_{l+1}\sum_{k=1}^{l}b_{k}\)
\(\displaystyle \geqq la_{l+1}b_{l+1}+\sum_{k=1}^{l}a_{k}b_{k}-b_{l+1}\sum_{k=1}^{l}a_{k}-a_{l+1}\sum_{k=1}^{l}b_{k}\)\(=\displaystyle \sum_{k=1}^{l}(a_{k}b_{k}-a_{l+1}b_{k}-b_{l+1}a_{k}+a_{l+1}b_{l+1})\)\(=\displaystyle \sum_{k=1}^{l}(a_{k}-a_{l+1})(b_{k}-b_{l+1})\)
よって，\(a_{1}\geqq a_{2}\geqq\cdots\geqq a_{l+1}\)，\(b_{1}\geqq b_{2}\geqq\cdots\geqq b_{l+1}\)で\(\displaystyle \sum_{k=1}^{l}(a_{k}-a_{l+1})(b_{k}-b_{l+1})\geqq 0\)となる．
よって\(n=l+1\)の時も成り立つ．
以上，数学的帰納法より\(a_{1}\geqq a_{2}\geqq\cdots\geqq a_{n}\)，\(b_{1}\geqq b_{2}\geqq\cdots\geqq b_{n}\)のとき，\(\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geqq(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k})(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}b_{k})\)が成り立つ．
参考入試問題
すべては0でない\(n\)個の実数，\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)があり，\(a_{1}\leqq a_{2}\leqq\cdots\leqq a_{n}\)かつ\(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0\)を満たすとき，\(a_{1}+2a_{2}+\cdots+na_{n}>0\)が成り立つことを証明せよ．(1986京都大学)
問題
すべては0でない\(n\)個の実数，\(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0\)の条件より，\(n \geqq 2\)である．
ここで，\(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0\)より，\(a_{i} \leqq 0\)となる場合が存在する．
よって，\(a_{1}\leqq a_{2}\leqq \cdots \leqq a_{i} \leqq 0 < a_{i+1}\leqq \cdots \leqq a_{n}\)が成り立つとする．\((1 \leqq i \leqq n-1)\) (\(i\)は自然数)
ここで，\(a_{1}+2a_{2}+\cdots+na_{n}\)を次のように考える．
\(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0\)
\(a_{2}+\cdots+a_{n}=-a_{1} \geqq 0\)
\(\cdots\)
\(a_{i}+\cdots+a_{n}=-(a_{1}+\cdots+a_{i-1}) \geqq 0\)
\(a_{i+1}+\cdots+a_{n}> 0\)
\(\cdots\)
\(a_{n}>0\)
上から順番に足していけば，\(a_{1}+2a_{2}+\cdots+na_{n}>0\)が成り立つことが分かる．
※チェビシェフの和の不等式を\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=0\)\(b_{i}=i\)と置くと，
\(\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k a_{k}\)\(\displaystyle \geqq(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k})(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k)=0\)
等号成立は，\(a_{1}=\cdots=a_{n}\)，\(b_{1}=\cdots=b_{n}\)なので，今回の問題は等号は成り立たない．