上級者
数学Ⅱ：式の証明
問題
数列\({a_n}\)（\(n\)は自然数）において，\(a_n>0,a_1>1\)，\(\displaystyle \frac{a_n^3}{a_n^2+1}=\frac{1}{2}a_{n+1}^2\)が成立するとき，\(1<a_n<a_{n-1}<\cdots<a_1\)が成立することを示せ．(オリジナル)
参考入試問題
数列\(a_{n}\),\(b_{n}\) \((n=1,2,3…)\)を\(0<a_{1}<b_{1}\)，\(\displaystyle \frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{2b_{n}}\)，\(\displaystyle 2b_{n+1}=\frac{1}{2}a_{n}+b_{n}\)で与えられる．このとき，次の各式が成り立つことを証明せよ．
(1)\(a_{2}<b_{2}<b_{1}\)
(2)任意の正の整数\(n\)に対して\(b_{n}>a_{n+1}\)
(3)2以上の任意の整数\(n\)に対して\(b_{n}<b_{1}\)(神戸大)
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