上級者
数学Ⅱ：式の証明
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ヒント：共通の実数解を持つということで，共通実数解を文字で置いて，方程式を愚直に計算して，場合分けを行えばできる（と思う）．
問題
実数\(a,b\)で\(x^{2}-ax-b=0\)と\(x^{3}-(2a^{2}+b)x+2ab=0\)がただ1つの共通の実数解を持つ時，\(a,b\)と共通解を求めよ．
解答
共通解を\(t\)とする．
\(t^{2}-at-b=0\)…①
\(t^{3}-(2a^{2}+b)t+2ab=0\)…②
①から\(t^{2}=at+b\)で②に代入して次数下げを行う．
\(t(at+b)-(2a^{2}+b)t+2ab=a(at+b)-2a^{2}t+2ab\)\(=-a^{2}t+3ab=0\)
（A）\(a\neq 0\)の場合，\(t=\displaystyle \frac{3b}{a}\)
これを①に代入して計算すると，
\(\displaystyle \left(\frac{3b}{a}\right)^{2}-a\left(\frac{3b}{a}\right)-b=0\) ⇔ \(9b=4a^2\)…③
③を①に代入して\(t\)を求めると，\(\displaystyle t=\frac{4a}{3},-\frac{a}{3}\)
③を②に代入すると，\(\displaystyle t^{3}-\frac{22}{9}a^2t+\frac{8}{9}a^2=0\)…④
④に\(\displaystyle t=\frac{4a}{3}\)を代入して，\(a\)について解くと，\(\displaystyle a=1\)，\(\displaystyle b=\frac{4}{9}\)
④に\(\displaystyle t=-\frac{a}{3}\)を代入して，\(a\)について解くと，\(\displaystyle a=-\frac{8}{7}\)，\(\displaystyle b=\frac{256}{441}\)
（B）\(a=0\)の時，①は\(t^2-b=0\)，②は\(t(t^2-b)=0\)なので，\(b>0\)の時，2つ共通解を持つ．\(b<0\)の時，共通解を持たない．\(b=0\)の時，共通解として，\(t=0\)を持つ．
以上より\((a,b)\)\(=(0,0)\)の時，共通解は0
\((a,b)\)\(=\displaystyle (1,\frac{4}{9})\)の時，共通解は\(\displaystyle \frac{4}{3}\)
\((a,b)\)\(=\displaystyle (-\frac{8}{7},\frac{256}{441})\)の時，共通解は\(\displaystyle \frac{8}{21}\)
参考入試問題
\(a\)は実数とする．2つの曲線
\(y=x^{3}+2ax^{2}-3a^{2}x-4\)と\(y=ax^{2}-2a^{2}x-3a\)
は，ある共有点で両方の曲線に共通な接線をもつ．このとき，\(a\)を求めよ．(2005 千葉大)
解説
まず条件として
①共有点で ②共通な接線をもつ
がある．共有点をもつ=y座標が等しい，共通な接線をもつ=接線の傾きが等しい
というのをここで覚えてください．
解答
共有点の\(x\)座標を\(t\)とおく．また，\(f(x)=x^{3}+2ax^{2}-3a^{2}x-4\)，\(g(x)=ax^{2}-2a^{2}x-3a\)とおく．
条件は\(f(t)=g(t)\)…① \(f'(t)=g'(t)\)…②である．
① ⇔ \(t^{3}+at^{2}-a^{2}t-4+3a=0\)…③
② ⇔ \(3t^{2}+2at-a^{2}=0\)…④
④より，\((3t−a)(t+a)=0\)
ここで\(3t=a\)のとき，③に代入して整理すると，\((t-1)(5t^{2}+5t-4)=0\)
これより，\(a=3,\displaystyle \frac{-15\pm 3\sqrt{105}}{10}\)
次に\(t=−a\)のとき，③に代入して整理すると，\((t+1)(t^{2}-t+4)=0\)
これより虚数を除いて\(a=1\)
以上から答えは\(a=1,3,\displaystyle \frac{-15\pm 3\sqrt{105}}{10}\)