上級者
数学Ⅱ：式の証明
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ヒント：始めに\(a+b\)，\(a^3+b^3\)の値を求める．また，対称式に関しては，\(a+b=s\)，\(ab=t\)とおいて式変形すると都合がよい．
問題（オリジナル）
\(a,b\)を実数とする．\(n\)を自然数とする場合に，\(a^2+b^2=3\)，\(a^4+b^4=7\)，\(a^{n}+b^{n}\)\(<a^{n+1}+b^{n+1}\)が成立する時，\(a^{n}+b^{n}\)\(+a^{n+1}+b^{n+1}\)\(=a^{n+2}+b^{n+2}\)が成立することを示せ．
解答
\(a+b=s\)，\(ab=t\)とおく．
\(a,b\)は実数であるため，\(a,b\)を解にもつ二次方程式\(x^2-sx+t=0\)の判別式\(D\geqq 0\)が条件となる．よって，\(s^2\geqq 4t\cdots(1)\)
また，\(a^2+b^2\)\(=(a+b)^2-2ab\)\(=s^2-2t=3\cdots(2)\)
\(a^4+b^4\)\(=(a^2+b^2)^2-2(ab)^2\)\(=9-2t^2=7\)\(\Leftrightarrow\)\(t=\pm1\cdots(3)\)
\((2),(3)\)より，
\(t=1\)の時，\(s=\pm\sqrt{5}\)
\(t=-1\)の時，\(s=\pm1\)
これらの答えは(1)を満たしているので，いずれも解になりうる．
次に，\(a^2+b^2\)\(<a^3+b^3\)\(<a^4+b^4\)を満たす，\(s,t\)を求める．
\(a^3+b^3\)\(=(a+b)(a^2+b^2-ab)\)\(=s(3-t)\)であることから，\(3<s(3-t)<7\)を満たす\(s,t\)の組は，\((s,t)\)\(=(a+b,ab)\)\(=(1,-1)\)のみである．
次に\(a^{n+2}+b^{n+2}\)\(=(a+b)(a^{n+1}+b^{n+1})\)\(-ab(a^{n}+b^{n})\)
\((a+b,ab)\)\(=(1,-1)\)を代入すると，
\(a^{n+2}+b^{n+2}\)\(=a^{n}+b^{n}\)\(+a^{n+1}+b^{n+1}\)が成立することが分かる．
参考入試問題（1997 東京大学）
\(a,b\)は実数でとする．\(a^2+b^2=16\)，\(a^3+b^3=44\)をみたしている．このとき，
(1)\(a+b\)の値を求めよ．
(2)\(n\)を2以上の整数とするとき，\(a^{n}+b^{n}\)は4で割り切れる整数であることを示せ．
解答
(1)
\(a+b=s\)，\(ab=t\)とおく．
\(a,b\)は実数であるため，\(a,b\)を解にもつ二次方程式\(x^2-sx+t=0\)の判別式\(D\geqq 0\)が条件となる．よって，\(s^2\geqq 4t\cdots①\)
また，\(a^2+b^2\)\(=(a+b)^2-2ab\)\(=s^2-2t=16\cdots②\)
\(a^3+b^3\)\(=(a+b)(a^2+b^2-ab)\)\(=s(16-t)=44\cdots③\)
ここで\(①,②\)より，\(t\)を消去すると，
\(-4\sqrt{2}\leqq s \leqq 4\sqrt{2}\cdots④\)となる．
また，\(②,③\)より，\(t\)を消去して整理すると，
\((s-2)(s^2+2s-44)=0\)
\(s=2\)の時は，④を満たす．
\(s^2+2s-44=0\)の時について，\(f(s)=s^2+2s-44\)と置く．
\(f(4\sqrt{2})=8\sqrt{2}-12<0\)
\(f(4\sqrt{2})=-8\sqrt{2}-12<0\)
となり，\(f(s)\)は④の条件では常に負であるため，\(f(s)=0\)を満たす実数\(s\)は存在しない．
よって，答えは\(s=a+b=2\)
(2)
(1)の答えを②に代入すると，\(t=ab=-6\)となる．
ここで，\(a^{n}+b^{n}\)（\(n\geqq 2\)）が4の倍数であることを数学的帰納法で示す．
(i) \(n=2\)の時，\(a^2+b^2=16\)，\(n=3\)の時，\(a^3+b^3=44\)で，両方ともに4の倍数である．
(ii) 次に\(n=k,k+1\)の時に，\(a^{k}+b^{k}\)，\(a^{k+1}+b^{k+1}\)が4の倍数であると仮定すると，
\(a^{k+2}+b^{k+2}\)\(=(a+b)(a^{k+1}+b^{k+1})\)\(-ab(a^{k}+b^{k})\)\(=2(a^{k+1}+b^{k+1})\)\(+6(a^{k}+b^{k})\)
\(a^{k}+b^{k}\)，\(a^{k+1}+b^{k+1}\)が4の倍数であるため，\(a^{k+2}+b^{k+2}\)が4の倍数となり，\(n=k+2\)の時にも成り立つ．
以上，(i),(ii)から数学的帰納法より，\(n\)を2以上の整数で，\(a^{n}+b^{n}\)は4で割り切れる整数となる．