MATH

ヒント：基本的には文字を置くときは必ず実数とし，式を変形していき，実数と虚数部分に分ける．複素数の特徴をうまく使えるようにしよう．

問題：複素数と方程式 （オリジナル）

与式：\(ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\)
\(i\)を虚数とする．\(a=1,b=3−i,c=2−3i\)で，実数解を1つのみ持つとき，\(d\)の値を求めよ．ただし虚数解は純虚数解とする．また解も求めよ．

実数解を\(t\)とすると，\(t^{3}+(3-i)t^{2}+(2-3i)t+d=0\)
ここで虚数解は純虚数なので，\(d\)は実数となる．（虚数解が\(ai,bi\)とすると，\(d=-abt\)で実数）
よって式を変形すると，
\((t^{3}+3t^{2}+2t+d)-(t^{2}+3t)i=0\)

右辺の虚数部分と実数部分が0となるので，次の式が成立する．

\(t^{3}+3t^{2}+2t+d=0\cdots\)①
\(t^{2}+3t=0\cdots\)②
②より\(t=0,-3\)
\(t=0\)のとき，①より，\(d=0\)
\(x^{3}+(3-i)x^{2}+(2-3i)x=0\) \(\Leftrightarrow\) \(x\{x^{2}+(3-i)x+2-3i\}=0\)
\(x^{2}+(3-i)x+2-3i=0\)のとき，\(k\)を実数として純虚数を\(ki\)とすると，

\((-k^{2}+k+2)+3(k-1)i=0\)で成立する実数\(k\)は存在しない．

よって，\(x\)は純虚数を解に持たない．
\(t=-3\)のとき，①より，\(d=6\)
\(x^{3}+(3-i)x^{2}+(2-3i)x+6=0\) \(\Leftrightarrow\) \((x+3)(x^{2}-ix+2)=0\) \(\Leftrightarrow\) \((x+3)(ix+2)(-ix+1)=0\)
\(x=-3,2i,-i\)

よって答えは\(d=6\)で，解は\(x=-3,2i,-i\)

\(f(x)=x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1\)は整数を係数とする\(x\)の4次式とする．4次方程式\(f(x)=0\)の重複も込めた4つの解のうち，2つは整数で残りの2つは虚数であるという．このとき\(a,b,c\)の値を求めよ．

解答
整数の解を\(k\)とおくと，\(f(k)=0⇔k^{4}+ak^{3}+bk^{2}+ck+1=0\) \(\Leftrightarrow\) \(k(k^{3}+ak^{2}+bk+c)=-1\)
\(k,~k^{3}+ak^{2}+bk+c\)は整数なので，\(k=1\) or \(−1\)となる．

（１）整数解が1もしくは−1の重解の時，\(f(x)\)は次のように書ける．
\(f(x)=(x\pm 1)^{2}(x^{2}+dx+1)\)
ここで，\(x^{2}+dx+1=0\)が虚数解をもつには，\(d^{2}-4<0\)

\(d\)は整数なので\(d=−1,0,1\)
\(d=−1\)の時，\(f(x)=(x\pm 1)^{2}(x^{2}-x+1)\)\(=(x^{2}\pm 2x+1)(x^{2}-x+1)\)\(=x^{4}+x^{3}+x+1\)，\(x^{4}-3x^{3}+4x^{2}-3x^{2}+1\)
\(d=1\)の時，\(f(x)=(x\pm 1)^{2}(x^{2}+x+1)\)\(=(x^{2}\pm 2x+1)(x^{2}+x+1)\)\(=x^{4}+3x^{3}+4x^{2}+3x+1\)，\(x^{4}-x^{3}-x+1\)
\(d=0\)の時，\(f(x)=(x\pm 1)^{2}(x^{2}+1)\)\(=(x^{2}\pm 2x+1)(x^{2}+1)\)\(=x^{4}\pm 2x^{3}+2x^{2}\pm 2x+1\)
（２）整数解が\(±1\)の時，
\(f(x)=(x^{2}-1)(x^{2}+dx-1)\)となるが，\(x^{2}+dx-1=0\)が虚数をもたないので不適．
以上より，
\((a,b,c)\)\(=(\pm 1,0,\pm 1)(\pm 2,2,\pm 2)(\pm 3,4,\pm 3)\)