中級者
数学Ⅱ：式の証明
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ヒント：式の証明は基本的に与えられた式をいろいろと変形していけば答えに近づいていく．両方の式を引き算して，＝0や>0などを示すか，与えられた条件を使って，目的の式に変形していくことになる．
問題
\(\sqrt{n}(n\geqq 1)\)は\(\displaystyle \frac{a}{b}\)と\(\displaystyle \frac{a+nb}{a+b}\)の間にあることを証明せよ．ただしここでは重なるときも間とみなす．\((a>0,b>0)\)（類 慶応）
解答
\(\left(\displaystyle \sqrt{n}-\frac{a}{b}\right)\left(\sqrt{n}-\frac{a+nb}{a+b}\right)\)\(=\displaystyle (1-\sqrt{n})\frac{(a-\sqrt{n}b)^{2}}{b(a+b)}\leqq 0\)
よって，\(\displaystyle \frac{a}{b}\leqq\sqrt{n}\leqq\frac{a+nb}{a+b}\)もしくは\(\displaystyle \frac{a+nb}{a+b}\leqq\sqrt{n}\leqq\frac{a}{b}\)となるので題意は示された．
別解
\(\displaystyle \sqrt{n}<\frac{a}{b}\)のとき，
\(\displaystyle \frac{a+nb}{a+b}\)\(=\displaystyle \frac{(n-1)b}{a+b}+1\)\(=\displaystyle \frac{n-1}{\frac{a}{b}+1}+1\)\(\displaystyle <\frac{n-1}{\sqrt{n}+1}+1=\sqrt{n}\)
\(\displaystyle \sqrt{n}\geqq\frac{a}{b}\)のとき，
\(\displaystyle \frac{a+nb}{a+b}\)\(=\displaystyle \frac{(n-1)b}{a+b}+1\)\(=\displaystyle \frac{n-1}{\frac{a}{b}+1}+1\geqq\frac{n-1}{\sqrt{n}+1}+1=\sqrt{n}\)
以上より，\(\displaystyle \frac{a}{b}\leqq\sqrt{n}\leqq\frac{a+nb}{a+b}\)もしくは\(\displaystyle \frac{a+nb}{a+b}\leqq\sqrt{n}\leqq\frac{a}{b}\)となるので題意は示された．
参考入試問題
\(a,b\)を正の整数とする．\(\sqrt{3}\)は\(\displaystyle \frac{a}{b}\)と\(\displaystyle \frac{a+3b}{a+b}\)の間にあることを示せ．（04 慶應義塾大学）
解答は省略．上記と同じ．