上級者
数学Ⅲ：いろいろな関数
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ヒント：この問題を見たときに，\(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\)の関数を描いてみることを思いつくかがポイント．
問題
(1)\(e^{\pi}\)と\(\pi^{e}\)はどちらが大きいか？（有名問題）
(2)\(a^{b}=b^{a}\)を満たすような自然数\(a,b\)を求めよ．(\(a\neq b\))（オリジナル）
解答
(1)
\(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\)とおく．
\(f'(x)=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\log x)\)
極大値は\(x=e\)で値は\(\displaystyle e^{\frac{1}{e}}\)
よって，\(\displaystyle e^{\frac{1}{e}}\)\(>\displaystyle \pi^{\frac{1}{\pi}}\)
\(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle e^{\pi}\)\(>\displaystyle \pi^{e}\)
(2)
\(a^{b}=b^{a}\)\(\Leftrightarrow\) \(a^{\frac{1}{a}}=b^{\frac{1}{b}}\)
ここで，\(f(x)=x^{\frac{1}{x}}\)とおく．
\(f'(x)=x^{\frac{1}{x}-2}(1-\log x)\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}x^{\frac{1}{x}}=0\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow\infty}x^{\frac{1}{x}}=1\)
よって，グラフは次のようになる．
\(x=1\)のときに\(f(x)=1\)であるが\(f(x)=1\)のときに解は\(x=1\)のみである．
\(x=2\)のときに\(f(x)=\sqrt{2}\)であるが，\(f(x)=\sqrt{2}\)のときに\(x=2,4\)がある．
\(x=3\)のときに\(f(x)=\sqrt[3]{3}\)であるが\(f(x)=\sqrt[3]{3}\)のときに\(x\)が整数解を持つのは\(x=3\)のみである．
\(x=4\)のときに\(f(x)=\sqrt{2}\)であるが，\(f(x)=\sqrt{2}\)のときに\(x=2,4\)がある．
\(x\geqq 5\)のときに同じ\(f(x)\)の値を持つもので，\(x=\)整数となるものはグラフからありえない．（解は\(1<x<2\)）
よって，答えは\((a,b)=(2,4)(4,2)\)