上級者
関数
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ヒント：これは計算問題です．式が多いため，どの文字を消し，どの式が残っているか，同値変形を意識して計算していきましょう．
問題（オリジナル）
一次関数\(y=ax+b\cdots(1)\)，二次関数\(y=ax^2+bx+c\cdots(2)\)，三次関数\(y=ax^3+bx^2+cx\cdots(3)\)でいずれの関数の組み合わせでも実数の重解を持つ場合，一次関数と三次関数で囲まれる面積を\(S_{1}\)，二次関数と三次関数で囲まれる面積を\(S_{2}\)とした時，\(\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}\)の値を求めよ．
解答
まず，各関数が存在する条件として，\(a\neq0\)が前提条件となる．
\((2)-(1)\)より，
\(ax^2+(b-a)x+(c-b)=0\)
二次方程式が重解を持つ条件として，判別式\(D=0\)より
\((b-a)^2-4a(c-b)=0\cdots(4)\)
\((3)-(1)\)より，
\(ax^3+bx^2+(c-a)x-b=0\)の実数解を\(\alpha,\beta\)とし，重解を\(\alpha\)とすると，
\(a(x-\alpha)^2(x-\beta)=ax^3+bx^2+(c-a)x-b\)
係数を比較すると，
\(b=-a(2\alpha+\beta)\cdots(5)\)
\(c-a=a(\alpha^2+2\alpha\beta)\cdots(6)\)
\(b=a\alpha^2\beta\cdots(7)\)
\((3)-(2)\)より，
\(ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c=0\)の実数解を\(\gamma,\delta\)とし，重解を\(\gamma\)とすると，
\(a(x-\gamma)^2(x-\delta)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c\)
係数を比較すると，
\(b-a=-a(2\gamma+\delta)\cdots(8)\)
\(c-b=a(\gamma^2+2\gamma\delta)\cdots(9)\)
\(c=a\gamma^2\delta\cdots(10)\)
\((4),(8),(9)\)より，
\(a^2(2\gamma+\delta)^2-4a^2(\gamma^2+2\gamma\delta)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\delta(\delta-4\gamma)=0\cdots(4)'\)
①： \(\delta=0\)の時，\((10)\)より，\(c=0\)
\(c=0\)を\((6)\)に代入して，\(a(\alpha^2+2\alpha\beta)=-a\)\(\Leftrightarrow\)\(\alpha^2+2\alpha\beta=-1\cdots(6)'\)
\((5),(7)\)から\(b\)を消去すると，\(\alpha^2\beta=-2\alpha-\beta\)\(\Leftrightarrow\)\(\displaystyle \beta=-\frac{2\alpha}{\alpha^2+1}\cdots(5)'\)
\((5)',(6)'\)より，\(\alpha\)について整理すると，\((\alpha^2-1)^2=0\)
よって，\(\alpha=\pm1\)
\(c=0\)，\(\delta=0\)を\((9)\)に代入して，\(-b=a\gamma^2\cdots(9)'\)
\(\delta=0\)を\((8)\)に代入して，\(b-a=-2a\gamma\cdots(8)'\)
\((8)',(9)'\)より，\(b\)を消去して整理すると，\(a(\gamma^2-2\gamma+1)=0\)
よって，\(\gamma=1\)
次に求めた\(\alpha,\beta,\gamma,\delta\)を\((5)～(9)\)式に代入して成立するか確認する．
①-1： \(\alpha=1\)の時，\((5)～(9)\)で\(b=-a\)となるため，この場合はOK
①-2： \(\alpha=-1\)の時，\((5)～(7)\)で\(b=a\)，\((8),(9)\)で\(b=-a\)となるため，この場合は不適．
②： \(\delta=4\gamma\)の時，
\((10)\)より，\(c=4a\gamma^3\cdots(10)'\)
\((9)\)より，\(c-b=9a\gamma^2\cdots(9)'\)
\((8)\)より，\(b-a=-6a\gamma\cdots(8)'\)
\(-(8)'+(9)'+(10)'\)より，
\(a(4\gamma^3-9\gamma^2+6\gamma-1)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(a(\gamma-1)^2(4\gamma-1)=0\)
\(\displaystyle \gamma=1,\frac{1}{4}\)
②-1： \(\gamma=1\)の時，\((10)'\)に代入して，\(c=4a\)，
さらに\((8)',(9)'\)より，\(b=-5a\)
\(c=4a\)を\((6)\)に代入すると，\(a(\alpha^2+2\alpha\beta)=3a\)\(\Leftrightarrow\)\(\alpha^2+2\alpha\beta=3\cdots(6)'\)
\(b=-5a\)を\((5)\)に代入すると，
\(-5a=-a(2\alpha+\beta)\)\(\Leftrightarrow\)\(2\alpha+\beta=5\cdots(5)'\)
\(b=-5a\)を\((7)\)に代入すると，
\(-5a=a\alpha^2\beta\)\(\Leftrightarrow\)\(\alpha^2\beta=-5\cdots(7)'\)
\((5)',(6)'\)より，\(\beta\)を消去すると，
\(\displaystyle \alpha=3,\frac{1}{3}\)
これを\((5)'\)に代入すると，\((\alpha,\beta)\)\(=(3,-1)\),\(\displaystyle (\frac{1}{3},\frac{13}{3})\)
これらは\((7)'\)を満たさないため，不適．
②-2： \(\displaystyle \gamma=\frac{1}{4}\)の時，\((10)'\)に代入して，\(16c=a\)，
さらに\((8)',(9)'\)より，\(-2b=a\)
\(16c=a\)を\((6)\)に代入すると，\(16c(\alpha^2+2\alpha\beta)=-15c\)\(\Leftrightarrow\)\(16(\alpha^2+2\alpha\beta)=-15\cdots(6)'\)
\(-2b=a\)を\((5)\)に代入すると，
\(b=2b(2\alpha+\beta)\)\(\Leftrightarrow\)\(2(2\alpha+\beta)=1\cdots(5)'\)
\(-2b=a\)を\((7)\)に代入すると，
\(b=-2b\alpha^2\beta\)\(\Leftrightarrow\)\(2\alpha^2\beta=-1\cdots(7)'\)
\((5)',(6)'\)より，\(\beta\)を消去すると，
\(\displaystyle \alpha=\frac{4}{3},-\frac{5}{12}\)
これを\((5)'\)に代入すると，\((\alpha,\beta)\)\(=\displaystyle (\frac{4}{3},-\frac{13}{6})\),\(\displaystyle (-\frac{5}{12},\frac{4}{3})\)
これらは\((7)'\)を満たさないため，不適．
以上より，満たすパターンは\((a,b,c)=(a,-a,0)\)，\((\alpha,\beta,\gamma,\delta)\)\(=(1,-1,1,0)\)が答えとなる．
次に面積を求める．
一般的に，\(\displaystyle \int_{m}^{n}(x-m)^2(x-n)dx\)\(=\displaystyle -\frac{1}{12}(n-m)^4\)である．
よって，\(S_{1}\)\(=\displaystyle \int_{-1}^{1}a(x-1)^2(x+1)dx\)\(=\displaystyle \frac{4a}{3}\)
\(S_{2}\)\(=\displaystyle \int_{0}^{1}a(x-1)^2xdx\)\(=\displaystyle \frac{a}{12}\)
よって，\(\displaystyle \frac{S_{1}}{S_{2}}\)\(=16\)