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関数
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ヒント：①の3つの実数解を持つ条件を直接的に表現する場合，極大値≧0，極小値≦0となる．一方で他の方法も考えられる．各係数が実数である三次方程式は必ず1つの実数解を持つので，三次式＝一次式×二次式の形に持っていき，二次式が2つの実数解を持つ条件としてもよい．後は計算問題です．
問題（オリジナル）
\(a,b,c\)を実数とする三次関数\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)において，\(f(x)=0\)が3つの実数解を持つとする．極大値となる\(x\)を\(m\)，極小値となる\(x\)を\(n\)とするとき，
①3つの実数解の範囲を\(m,n\)を使って求めよ．
②\(mn=-1\)を満たし，①で求めた実数解の範囲の最大値，最小値が\(f(x)=0\)の時，\(x\)軸と\(f(x)\)で囲まれる面積\(S\)の最小値を求めよ．
解答
①3つの実数解の範囲は，ある1つの実数解を\(x=t\)とし，残りの2つの実数解を持つ条件から得られる\(t\)の範囲と同じである．よって，まずは\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)\(=(x-t)(x^2+ux+v)\)と置く．
係数を比較して，\(a=u-t\cdots(1)\)，\(b=v-ut\cdots(2)\)
また，\(f(x)=0\)が3つの実数解を持つということは，\(x^2+ux+v=0\)は2つの実数解を持つということである．よって，判別式\(D\geqq 0\)\(\Leftrightarrow\)\(u^2-4v\geqq 0\cdots(3)\)
次に，三次関数を\(x\)で微分すると，\(f'(x)=3x^2+2ax+b\)
極大値，極小値となる\(x\)がそれぞれ\(m,n\)なので，\(f'(x)=3(x-m)(x-n)\)，\(m<n\cdots(4)\)となる．
よって，係数を比較して，\(2a=-3(m+n)\cdots(5)\)，\(b=3mn\cdots(6)\)
\((1),(5)\)より，\(a\)を消去すると，
\(2u=-3(m+n)+2t\cdots(1)'\)
\((2),(6)\)より，\(b\)を消去すると，
\(v=3mn+ut\cdots(2)'\)
さらに，\((1)',(2)'\)より\(u\)を消去すると，
\(2v=6mn+(-3(m+n)+2t)t\cdots(2)''\)
\((1)',(2)''\)を\((3)\)に代入して整理すると，
\(4t^2-4(m+n)t+(3m-n)(3n-m)\leqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \((2t-(3m-n))(2t-(3n-m))\leqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \(\displaystyle \frac{3m-n}{2}\leqq t \leqq \frac{3n-m}{2}\) （∵\((4)\)より\(\displaystyle \frac{3m-n}{2}\leqq \frac{3n-m}{2}\)）
②
\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)\(=\displaystyle (x-t)\left(x-\frac{3m-n}{2}\right)\left(x-\frac{3n-m}{2}\right)\)より，\(a=-(m+n)-t\cdots(7)\)
\((5),(7)\)より，\(\displaystyle t=\frac{m+n}{2}\)
ここで，\(\displaystyle \frac{3m-n}{2}\),\(m\),\(\displaystyle \frac{m+n}{2}\),\(n\),\(\displaystyle \frac{3n-m}{2}\)は\(\displaystyle \frac{n-m}{2}\)ずつ増加しているのが分かる．つまり三次関数\(f(x)\)は\(\displaystyle x=t=\frac{m+n}{2}\)で点対称となる．よって新たに\(z=x-t\)と考えると，求める面積\(S\)は
\(\displaystyle S=\int_{\frac{3m-n}{2}}^{\frac{m+n}{2}}\left(x-\frac{m+n}{2}\right)\left(x-\frac{3m-n}{2}\right)\left(x-\frac{3n-m}{2}\right)dx\)\(\displaystyle -\int_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{3n-m}{2}}\left(x-\frac{m+n}{2}\right)\left(x-\frac{3m-n}{2}\right)\left(x-\frac{3n-m}{2}\right)dx\)\(=\displaystyle -2\int_{\frac{m+n}{2}}^{\frac{3n-m}{2}}\left(x-\frac{m+n}{2}\right)\left(x-\frac{3m-n}{2}\right)\left(x-\frac{3n-m}{2}\right)dx\)\(=\displaystyle -2\int_{0}^{m-n}z(z-(m-n))(z+(m-n))dz\)\(=\displaystyle \frac{(n-m)^4}{2}\)
\(mn=-1\),\(m<n\)より，\(n>0\)で相加相乗平均より，
\(\displaystyle S=\frac{\left(n+\frac{1}{n}\right)^4}{2}\geqq \frac{\left(2\sqrt{n\cdot\frac{1}{n}}\right)^4}{2}\)\(=8\)
等号成立は\(n=1\),\(m=-1\)である．
よって，\(x\)軸と\(f(x)\)で囲まれる面積\(S\)の最小値は8である．
※①で極大値≧0，極小値≦0の場合をやってみよう．
\(m<n\cdots(4)\)，\(2a=-3(m+n)\cdots(5)\)，\(b=3mn\cdots(6)\)
極大値≧0より，\(m^3+am^2+bm+c\geqq 0\cdots(8)\)
極小値≦0より，\(n^3+an^2+bn+c\leqq 0\cdots(9)\)
また，実数解を\(t\)とすると，
\(t^3+at^2+bt+c=0\cdots(10)\)
\((8)-(10)\)より，
\((m^3-t^3)+a(m^2-t^2)+b(m-t)\geqq 0\cdots(8)'\)
さらに\((5),(6),(8)'\)より，\(a,b\)を消去して整理すると，
\((m-t)^2(2t-(3n-m))\leqq 0\)
\((m-t)^2>0\)より，\(2t-(3n-m)\leqq 0\cdots(8)''\)
同様に，\((5),(6),(9),(10)\)より，
\(2t-(3m-n)\geqq 0\cdots(9)''\)
\((8)'',(9)''\)より，
\(\displaystyle \frac{3m-n}{2}\leqq t \leqq \frac{3n-m}{2}\)