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問題（オリジナル）
\(xy\)平面上の楕円\(\displaystyle E:\frac{x^2}{3}+y^2=1\)上に3点\(P,Q,R\)をとる時，三角形\(PQR\)が正三角形になるという．正三角形の長さを\(a\)，重心\(G\)の座標を\((s,t)\)と置くときに次の問いに答えよ．
(1)\(GP\)と\(x\)軸のなす角度を\(\theta\)（\(0\leqq \theta <2\pi\)）と置くとき，\(a,s,t\)と\(\theta\)の関係を求めよ．
(2)\(P(0,1)\)の時，正三角形の長さおよび重心\(G\)の座標を求めよ．
(2)'\(P(\sqrt{3},0)\)の時，正三角形の長さおよび重心\(G\)の座標を求めよ．
※(2),(2)'は同じ解き方ができるので，(2)の解答確認後，(2)'は演習として使ってください．
参考入試問題（2021東京工業大学）
\(xy\)平面上の楕円
\(\displaystyle E:\frac{x^2}{4}+y^2=1\)
について，以下の問いに答えよ．
(1)\(a,b\)を実数とする．直線\(l:y=ax+b\)と楕円\(E\)が異なる2点を共有するための\(a,b\)の条件を求めよ．
(2)実数\(a,b,c\)に対して，直線\(l:y=ax+b\)と直線\(m:ax+c\)が，それぞれ楕円\(E\)と異なる2点を共有しているとする．ただし，\(b>c\)とする．直線\(l\)と楕円\(E\)の2つの共有点のうち\(x\)座標の小さいほうを\(P\)，大きいほうを\(Q\)とする．また，直線\(m\)と楕円\(E\)の2つの共有点のうち\(x\)座標の小さいほうを\(S\)，大きいほうを\(R\)とする．このとき，等式
\(\overrightarrow{PQ}\)\(=\overrightarrow{SR}\)
が成り立つための\(a,b,c\)の条件を求めよ．
(3)楕円\(E\)上の4点の組で，それらの4頂点とする四角形が正方形であるものを全て求めよ．
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