上級者
数学A：整数
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ヒント：今回は余りに関して整理しよう．
問題
\(p,q\)を素数，\(n\)を整数とする．\(p^2-7^n=9q^3\)を満たす\(p,q,n\)を求めよ．(オリジナル)
解答
\(p,q\)は整数であるため，\(7^n\)は整数．よって，\(n \geqq 0\)
次に\(p=2\)の時，\(7^n=4-9q^3<0\)より，\(p\)は\(p\geqq 3\)以上．
また，\(p\)は奇数，\(7^n\)は奇数．よって，\(9q^3\)は偶数で\(q=2\)である．
よって，\(p^2-7^n=72\)
※\(72=2^3\times3^2\)で72の因数の中から，\(p^2\)と\(7^n\)を何で割るかを決める．わからない時は順番に具体的に値を入れていく必要がある．2,3では条件を絞ることができず，ようやく4で条件を絞ることができる！
次に，\(p \geqq 3\)の場合，\(4m\pm 1\)と書くことができる．（\(m\)は\(m\geqq 1\)）
\(p=4m\pm 1\)の時，\(p^2=4(4m^2\pm 2m)+1\)
よって，\(p^2 \equiv 1 \pmod 4\)
一方，\(n\)が偶数の時，\(n=2k\)で\(7^n=7^{2k}=49^k\)\(\equiv 1^k\)\(\equiv 1 \pmod 4\)
\(n\)が奇数の時，\(n=2k-1\)で\(7^n=7^{2k-1}=7\cdot49^{k-1}\)\(\equiv 7\)\(\equiv -1 \pmod 4\)
72は4の倍数なので，まずは\(n\)が偶数でないと与式は成立しない．
ここで，\(n=2k\)と置くと，\((p-7^k)(p+7^k)=72\)
\(p-7^k\)，\(p+7^k\)は偶数かつ\(p-7^k<p+7^k\)を満たす．
よって，\((p-7^k,p+7^k\)\(=(2,36)\)，\((4,18)\)
解を満たす\(p,q,k\)は\((p,q,a)=(11,2,1)\)
よって，\((p,q,n)=(11,2,2)\)
参考入試問題
以下の問いに答えよ。
(1) \(3^n=k^3+1\)をみたす正の整数の組をすべて求めよ．
(2) \(3^n=k^2-40\)をみたす正の整数の組をすべて求めよ．(2010千葉大)
解答
(1)
\(3^n\)\(=k^3+1\)\(=(k+1)(k^2-k+1)\)
よって，\(k+1=3^m\)\((>2)\)\(\cdots\)①（\(1 \leqq m \leqq n\)）と置くと，\(k^2-k+1\)\(=3^{n-m}\cdots\)②となる．
ここで，②に①を代入して整理すると，
\(3^{n-m-1}-1=3^{2m-1}-3^{m}\cdots\)③
\(3^{2m-1}-3^{m}\)は\(1 \leqq m \leqq n\)で3の倍数なので，
\(3^{n-m-1}-1\)は3の倍数．これが成立するには\(n-m-1=0\)である必要がある．
これを③に代入すると，\(3^{2m-1}-3^{m}=0\) \(\Leftrightarrow\) \(3^m(3^{m-1}-1)=0\) \(\Leftrightarrow\) \(3^{m-1}-1=0\)
これが成立する\(m\)は\(m=1\)で\(n=2\)となる．
元の式に代入すると\(k^3+1=9\) \(\Leftrightarrow\) \(k=2\)
よって，\(k=2\)，\(n=2\)
(2)
左辺について，\(n\)が偶数の時，\(3^n\equiv (-1)^n=1 \pmod 4\)，\(n\)が奇数の時，\(3^n \equiv (-1)^n=-1 \pmod 4\)
右辺について，\(k\)が偶数の時，\(k^2−40\equiv 0\)，\(k\)が奇数の時，\(k^2−40 \equiv 1\)である．
よって，\(k\)が奇数で\(n\)が偶数であることが必要
ここで，\(n=2m\)（\(m\)は自然数）とおくと，
\(3^{2m}\)\(=k^2-40\) \(\Leftrightarrow\) \((k-3^m)(k+3^m)=40\)
\(k\)が奇数であるため，\(k−3^m\)と\(k+3^m\)は偶数で，\(k+3^m>k−3^m\)より，
\(k+3^m=20\)，\(k-3^m=2\)と\(k+3^m=10\)，\(k-3^m=4\)が候補として考えられる．
\(k,m\)の値を求めると，\((k,m)=(11,2),(7,1)\)
よって求める答えは，\((k,n)=(11,4),(7,2)\)