上級者
数学A：整数
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ヒント：今回は余りに関して整理しよう．記述問題の場合は，抜け漏れなく記述をするのはかなり難しいと思います．
問題
\(p,q\)を素数，\(m,n\)を整数とする．\(n\)が3の倍数でない場合，\(p^2-7^m=4q^n\)を満たす\(p,q,m,n\)を全て求めよ．(オリジナル)
解答
まずは，\(m,n \geqq 0\)であることを示す．
\(\displaystyle \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}=z\cdots\)(A)
\((x_1,y_1,x_2,y_2,z\)は整数で，\(y_1,y_2\neq 1\)，\(x_1,y_1\)は互いに素，\(x_2,y_2\)も互いに素．
(A)を整理すると，\((zy_2-x_2)y_1=x_1y_2\)
ここで，\(x_1,y_1\)は互いに素なので，\(jy_1=y_2\)（\(j\)は\(j\neq 1\)の整数）
ここで，\(y_1,y_2\)が互いに素であると，\(j=1\)であるが，\(y_1=y_2\)となるので，\(y_1,y_2\)が互いに素であることに矛盾．よって，\(y_1,y_2\)は共通因数を持つ．
よって，\(p^2-7^m=4q^n\)において，\(m,n<0\)のとき，分数が現れるので，先の議論により\(q=7a\)，（\(a\)は整数）となる．ここで，\(p^2=7^m+4\cdot (7a)^n\)であるが，\(7^m+4\cdot (7a)^n<1\)なので，成立する整数\(p\)は存在しない．よって，\(m,n \geqq 0\)
次に\(p=2\)の時，\(7^m=4-4q^n<0\)より，\(p\)は\(p\geqq 3\)
次に，\(p \geqq 3\)の場合，\(p=4i\pm 1\)と書くことができる．（\(i\)は自然数）
\(p=4i\pm 1\)の時，\(p^2=4(4i^2\pm 2i)+1\)
よって，\(p^2 \equiv 1 \pmod 4\)
一方，\(m\)が偶数の時，\(m=2k\)で\(7^m=7^{2k}=49^k\)\(\equiv 1^k\)\(\equiv 1 \pmod 4\)
\(m\)が奇数の時，\(m=2k-1\)で\(7^m=7^{2k-1}=7\cdot49^{k-1}\)\(\equiv 7\)\(\equiv -1 \pmod 4\)
\(4q^n\)は4の倍数なので，まずは\(m\)が偶数でないと与式は成立しない．
ここで，\(m=2k\)と置くと，\((p-7^k)(p+7^k)=4q^n\)
\(p-7^k\)，\(p+7^k\)は偶数かつ\(p-7^k<p+7^k\)を満たす．
よって，\(p-7^k=2q^a\cdots\)①，\(p+7^k=2q^b)\cdots\)②（\(a+b=n\)，\(a<b\)）と置ける．
※\(q=2\)の時は，\((p-7^k=2^{a+1}\)，\(p+7^k=2^{b+1})\) （\(a+b=n\)，\(a<b\)）と置けるので同じ．
ここで①-②より，\(7^k=q^b-q^a\)\(=q^a(q^{b-a}-1)\)
ここで，\(q=7\)とすると，\(7^k\)\(=7^a(7^{b-a}-1)\)
まずは，\(7\)と\(7^{b-a}-1\)は互いに素であることを示す．\(7\)と\(7^{b-a}-1\)が共通因数\(g\)を持つとすると，\(7=gl_1\)，\(7^{b-a}-1=gl_2\)（\(g\),\(l_1\),\(l_2\)は2以上の整数）と置ける．7を消去すると，\(g(g^{b-a-1}l_{1}^{b-a}-l_{2})=1\)
ここで，\(g^{b-a-1}l_{1}^{b-a}-l_{2}\)は整数なので，\(g=1\)となるが，条件に当てはまらない．よって，\(7\)と\(7^{b-a}-1\)は互いに素である．
よって，\(7^{b-a}-1=1\)となるが，成立する解はない．
次に，\(q\neq 7\)の時，\(7^k\)\(=q^a(q^{b-a}-1)\)において，7と\(q\)は互いに素なので，\(q^a=1\)となる．\(q\neq 1\)なので，\(a=0\)
よって，\(7^k\)\(=q^n-1\)\(=(q-1)(q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots+1)\)
ここで，\(q-1=7^l\)とした時，\(q=2\)となる時，\(l=0\)なので，これは解の可能性がある．一方で，\(q \geqq 3\)では，\(q\)は奇数なので，\(q-1=7^l\)の左辺が偶数，右辺が奇数なので，これは成立しない．
よって，\(7^k\)\(=2^n-1\)
ここで，\(n=3d-2\)において，右辺\(=2^n-1\)\(=2\cdot8^{d-1}\)\(\equiv 2\cdot1^d-1=1 \pmod 7\)
また，\(n=3d-1\)において，右辺\(=2^n-1\)\(=4\cdot8^{d-1}\)\(\equiv 4\cdot1^d-1=3 \pmod 7\)
一方，\(k>0\)の時は，左辺\(=7^k\)\(\equiv 0 \pmod 7\)
よって，\(7^k\)\(=2^n-1\)が成立しない．
\(k=0\)の時は，\(1=2^n-1\)．よって，\(n=1\)
次にこれまでに求めた値を①に代入すると，\(p-7^0=2\cdot2^0\)
これより\(p=3\)
以上，解を満たす\(p,q,m,n\)は\((p,q,m,n)=(3,2,0,1)\)
参考入試問題
素数\(p,q\)を用いて\(p^q+q^p\)で表される素数を全てもとめよ．(2016 京都大学)
解答
素数は2以外奇数であるため，\(p^q\)，\(q^p\)のどちらかが偶数となる．
よって，\(q=2\)と置く．
次に具体的に値を入れてみる．
\(2^2+2^2=8=2^3\)→2の倍数．\(2^3+3^2=17\)→素数．\(2^5+5^2=57=3\times19\)→3の倍数，\(2^7+7^2=177=3\times59\)→3の倍数
よって，\(p=2\)の時は偶数になるので，成立しない．\(p\)が奇数の時には，\(p\neq 3\)の時は3の倍数になりそうな感じがするので，3で割った余りを考えていく．
\(p\geqq 3\)の時，
\(2^p\)について，\(2^p\)\(=(3-1)^p\)\(=3A+(-1)^p\)
よって，\(2^p\)\(\equiv (-1)^p \pmod 3\)
ここで，\(p\)は奇数なので，\((-1)^p=-1\)
また，\(p^2\)について，\(p=3\)以外は3の倍数ではないので，\(p=3m \pm1\)と置くことができる．よって，\(p^2=3(3m^2 \pm 2m)+1\)なので，\(p^2 \equiv 1 \pmod 1\)
よって，\(p\neq 3\)の時，\(2^q+q^2\)\(\equiv 0 \pmod 3\)
\(p=3\)の時，\(2^3+3^2=17\)で素数なので，答えは17