上級者
数学A：整数
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ヒント：うまく式変形して，\(a,b,c\)の関係を作り出そう．
問題
\(x^3-ax^2+bx+c=0\)において，\(a,b,c\)は自然数で，\(a,c\)が互いに素であるとする．方程式の解が等差数列となる時，\(a,b,c\)を求めよ．
解答
方程式の解を\(\alpha,\beta,\gamma\)（\(\alpha<\beta<\gamma\)）とすると，
\(\alpha+\beta+\gamma=a\cdots\)①
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=b\cdots\)②
\(\alpha\beta\gamma=-c\cdots\)③
次に解が等差数列となるので，次の式が成立する．
\(\alpha+\gamma=2\beta\cdots\)④
①，④より，
\(3\beta=a\cdots\)⑤
②，④より，
\(2\beta^2+\alpha\gamma=b\cdots\)⑥
③，⑥より，\(\alpha\gamma\)を消去すると，
\(\beta(b-2\beta^2)=-c\cdots\)⑦
⑤，⑦より，\(\beta\)を消去すると，
\(\displaystyle b\frac{a}{3}-2\left(\frac{a}{3}\right)^3=-c\cdots\)⑧
（※同値変形は①②③④⇔⑤②③④⇔⑤⑥③④⇔⑤⑥⑦④⇔⑤⑥⑧④）
⑧を式変形すると，\(a(9b-2a^2)=-27c\cdots\)⑨
ここで，\(a,c\)は互いに素であるため，当てはまる自然数\(a\)は\(a=1,3,9,27\)が考えられる．
\(a=1\)の時，⑨を式変形すると，\(9(b+3c)=2\)で，成立する自然数\(b,c\)はない．
\(a=3\)の時，⑨を式変形すると，\(b+c=2\)で，成立する自然数\(b,c\)は\((b,c)=(1,1)\)
\(a=9\)の時，⑨を式変形すると，\(c=3(18-b)>0\)で，\(c\)が3の倍数となるが，\(a,c\)が互いに素であることに矛盾するため不適．
\(a=27\)の時，⑨を式変形すると，\(c=9(162-b)>0\)で，\(c\)が9の倍数となるが，\(a,c\)が互いに素であることに矛盾するため不適．
以上より，答えは\((a,b,c)\)\(=(3,1,1)\)
参考入試問題
数列\(x_{n}\)を\(x_{n}=-an^{2}+bn+c\)，\(n=1,2,3,\cdots\)によって定める．このとき，次の2つの条件(イ),(ロ)を満たす自然数\(a,b,c\)の値を求めよ．
(イ)\(4,x_{1},x_{2}\)はこの順で等差数列である．
(ロ)すべての自然数\(n\)に対して\(\displaystyle \left(\frac{x_{n}+x_{n+1}}{2}\right)^{2}\geqq x_{n}x_{n+1}+1\)が成り立つ．(1995 京大)
解答
等差数列の条件で，\(4+x_{2}=2x_{1}\)
ここで，\(x_{1}=-a+b+c\)，\(x_{2}=-4a+2b+c\)
これより，\(2a+c=4\)
\(a,c\)は自然数なので，\(a=1,c=2\)
\(x_{n}=-n^{2}+bn+2\)を(ロ)の条件に代入して計算すると，
\((x_{n}-x_{n+1})^2 \geqq 4\) \(\Leftrightarrow\) \((x_{n}-x_{n+1}+2)(x_{n}-x_{n+1}-2)\geqq 0\) \(\Leftrightarrow\) \((2n-1-b)(2n+3-b)\geqq 0\)…①
ここで，\(2n-1-b\)，\(2n+3-b\)は\(n\)の増加関数で，\(2n-1-b<2n+3-b\)である．よって自然数\(n\)で常に①が成り立つためには，\(2n-1-b\geqq 2\cdot1-1-b\geqq 0\) であればよい．よって，成り立つ\(b\)は\(b=1\)である．
よって答えは，\((a,b,c)\)\(=(1,1,2)\)